[논문 리뷰] Double complex SUSY-transformations: deformations of real potentials and their spectral characteristics

Sergei P. Maydanyuk|ArXiv.org|2007. 10. 22.

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics참고 문헌 62인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 실수 잠재력의 정확한 변형을 유지하면서 그 실수성과 스펙트럼 특성을 유지하는 비퇴화된 복소 에너지를 사용한 새로운 이중 복소 초대칭 양자역학(SUSY) 변환 방법을 제안한다. 서로 다른 에너지 매개변수를 가진 복소 다르부 변환을 적용함으로써, 이산 스펙트럼(예: 유한한 직사각형 well) 및 연속 스펙트럼(예: 영 잠재력) 시스템 모두에 대해 연속적이고 해석적으로 다룰 수 있는 변형을 가능하게 하며, 형태, 깊이, 대칭성에 대한 완전한 제어를 가능하게 하는 새로운 이소스펙트럴, 반사 없음, 비대칭 이중우물 잠재력을 생성한다. 이는 기존의 형태 불변 모델에 비해 더 단순한 대안을 제공한다.

ABSTRACT

In paper approach of double complex SUSY-transformations with not coincident complex energies of transformation is developed, allowing to deform given real potential $V_{1}$ with obtaining exact solutions. The explicit solutions of the deformation of shape of the potential, its wave function at arbitrary energy, not coincident with energies of transformation, wave functions at the energies of transformation are obtained, condition of keeping of continuity of the solutions and isospectral condition are determined. Using a rectangular well of finite width with infinitely high walls as the starting $V_{1}$ with discrete energy spectrum, by the proposed approach new types of deformation of this potential with deformation of the energy spectrum as a whole have been obtained. The new potential contains the rectangular well as own partial case (with simultaneous transformation of the shape of this new potential, energy spectrum, wave functions of all bound states, wave function at arbitrary energy into corresponding characteristics of the rectangular well at needed choice of parameters). Using null potential as the starting $V_{1}$ with continuous energy spectrum, new form of reflectionless real potential has been constructed. This potential generalizes well-known reflectionless potential of the type $V_{ m ref}(x) = A^{2}(1-2 { m sech}^{2}{Ax})$, allowing: to pull down tails of the potential $V_{ m ref}$ in the asymptotic regions up to zero (with keeping of nonzero depth); to pull down continuously the depth of the hole; to displace arbitrary along axis $x$ the hole with its passing through zero; to create and to increase the second hole, transforming $V_{ m ref}$ into double-well potential; to control continuously and simply the asymmetry of the shape of such reflectionless potential.

연구 동기 및 목표

• 실수 양자 잠재력의 연속적이고 정확한 변형을 개발함으로써 그 실수성과 스펙트럼 구조를 유지하는 것.
• 비일치하는 복소 에너지를 사용하여 표준 실수 에너지 변환을 초월한 초대칭 양자역학을 확장하는 것.
• 조절 가능한 비대칭성과 깊이를 가진 새로운 이소스펙트럴 잠재력, 즉 변형된 직사각형 우물과 일반화된 반사 없음 잠재력을 구축하는 것.
• 임의의 에너지 및 변환 에너지에서 파동 함수에 대한 명시적 해석적 해를 제공함으로써 연속성과 스펙트럼 불변성을 보장하는 것.
• 간단한 매개변수 조정을 통해 잠재력의 형태, 특히 꼬리 행동, 우물 깊이, 이중우물 형성에 대한 실질적 제어를 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 시작 잠재력 $V_1$ 로부터 새로운 잠재력을 생성하기 위해 두 개의 서로 다른 복소 에너지 변환 매개변수인 $\mathcal{E}_1$ 와 $\mathcal{E}_2$ 를 사용하는 이중 복소 SUSY 변환을 활용한다.
• Schödinger 방정식의 해 $\phi_i^{(k)}$ 에서 초위력 $W_i^{(k)}$ 를 유도하기 위해 인수분해 방법과 Riccati 방정식 프레임워크를 적용한다.
• 1차 다르부 변환을 연산자 $A_i = \frac{d}{dx} + W_i(x)$ 와 $A_i^+ = -\frac{d}{dx} + W_i(x)$ 를 통해 적용하여 이소스펙트럴 파트너 잠재력을 생성한다.
• 변형된 잠재력 $V_2(x)$, 임의의 에너지에서의 파동 함수 $\varphi_n^{(2)}$, 그리고 변환 에너지에서의 파동 함수 $\varphi_m^{(2)}$ 에 대한 명시적 닫힌 형태의 표현식을 유도한다.
• 변환된 해에서 발산이나 불연속성이 없도록 하여 연속성 조건을 부과하고, 이소스펙트럴성을 확보한다.
• 이 방법을 두 가지 핵심 시작 잠재력에 적용한다: (1) 무한한 벽을 가진 유한한 직사각형 우물(이산 스펙트럼), (2) 영 잠재력(연속 스펙트럼), 이로써 새로운 종류의 잠재력 클래스를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비일치하는 복소 에너지를 가진 이중 복소 SUSY 변환은 스펙트럼 이소스펙트럴성과 해의 연속성을 유지하면서 새로운 실수 잠재력을 생성할 수 있는가?
• RQ2 유한한 직사각형 우물의 형태는 어떻게 복소 SUSY 변환을 통해 연속적으로 변형될 수 있으며, 그 에너지 스펙트럼과 파동 함수의 행동은 어떻게 되는가?
• RQ3 기존에 잘 알려진 반사 없음 잠재력 $V_{\rm ref}(x) = A^2(1 - 2\,{\rm sech}^2(Ax))$ 는 이 방법을 통해 깊이, 비대칭성, 이중우물 형성에 대한 조절 가능성을 가질 수 있는가?
• RQ4 변형된 잠재력에서 임의의 에너지 및 변환 에너지에서의 파동 함수의 명시적 해석적 형태는 무엇인가?
• RQ5 이 방법은 기존의 형태 불변 또는 자가유사 모델에 비해 반사 없음 잠재력의 구축을 얼마나 단순화하는가?

주요 결과

• 이 방법은 발산이나 불연속성을 유발하지 않으며, 파동 함수의 연속성을 보장함으로써 시작 잠재력 $V_1$ 로부터 새로운 실수 잠재력을 성공적으로 생성한다.
• 유한한 직사각형 우물의 경우, 매개변수 조정을 통해 모든 구속 상태 파동 함수와 에너지 준위가 연속적으로 변형되는 새로운 잠재력이 생성되며, 한계 경우에 원래의 우물로 수렴한다.
• 영 잠재력은 꼬리 행동(0으로 끌어내림), 구멍 깊이, 위치(0을 통과하는 것 포함), 그리고 두 번째 구멍 생성을 가능하게 하는 일반화된 반사 없음 잠재력으로 변형되며, 대칭적인 이중우물 잠재력으로 전환된다.
• $\mathcal{E}_2$ 를 $-0.00001$ 에서 $-19$ 로 변화시킴으로써, 대칭적인 단일우물 잠재력이 대칭적인 이중우물 잠재력으로 매끄럽게 변형되는 것을 보여주며, 비대칭성에 대한 연속적인 제어를 가능하게 한다.
• 얻어진 반사 없음 잠재력은 기존의 형태 불변 또는 자가유사 반사 없음 잠재력보다 더 단순한 형태를 가지지만, 여전히 완전한 반사 없음 행동을 유지하고 있으며 Ref. [69] 의 건설 규칙을 충족한다.
• 임의의 에너지 및 변환 에너지에서의 파동 함수는 명시적으로 유도되었으며, 유한하고 연속적임을 입증하여 이소스펙트럴 변환의 타당성을 확인한다.