[논문 리뷰] Double Lie algebroids and second-order geometry, II

Kirill C. H. Mackenzie|ArXiv.org|1997. 12. 22.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 이중 리 군oids에 대한 이중 리 알제브로이드의 구성이 완료됨을 보이며, LA-군oids의 리 알제브로이드 구조가 그 군oids 구조의 리 알제브로이드로 연장될 수 있음을 증명하고, 두 구조 간의 자연스러운 동형사상이 존재함을 보임. 또한 이중 리 군oids의 코탄젠트는 심플렉틱 이중 군oids임을 입증하며, 이로부터 이중 푸아송 군oids가 유도됨.

ABSTRACT

We complete the construction of the double Lie algebroid of a double Lie groupoid begun in the first paper of this title. We show that the Lie algebroid structure of an LA--groupoid may be prolonged to the Lie algebroid of its Lie groupoid structure; in the case of a double groupoid this prolonged structure for either LA--groupoid is canonically isomorphic to the Lie algebroid structure associated with the other; this extends many canonical isomorphisms associated with iterated tangent and cotangent structures. We also show that the cotangent of a double Lie groupoid is a symplectic double groupoid, and that the side groupoids of any symplectic double groupoid are Poisson groupoids in duality. Thus any double Lie groupoid gives rise to a dual pair of Poisson groupoids.

연구 동기 및 목표

• 이중 리 군oids에 대한 이중 리 알제브로이드 구조를 완성함으로써 첫 번째 논문의 결과를 확장함.
• LA-군oids의 리 알제브로이드 구조가 그 기저가 되는 군oids의 리 알제브로이드 구조로 연장될 수 있음을 보임.
• 이중 리 군oids 내의 두 LA-군oids의 연장된 구조 간에 자연스러운 동형사상이 존재함을 확립함.
• 이중 리 군oids의 코탄젠트 벡터 장은 자연스럽게 심플렉틱 이중 군oids의 구조를 지님을 보임.
• 임의의 심플렉틱 이중 군oids의 측면 군oids가 상호 이중성인 푸아송 군oids임을 증명함으로써, 임의의 이중 리 군oids로부터 이중 푸아송 군oids 쌍을 생성함.

제안 방법

• LA-군oids의 리 알제브로이드 구조를 그에 대응하는 리 군oids의 구조로 연장함.
• 이차 기하학에서의 탄젠트와 코탄젠트의 이중성에 기반하여 자연스러운 동형사상을 유도함.
• 심플렉틱 군oids 이론과 그 코탄젠트 릿지의 응용을 통해 이중 리 군oids의 코탄젠트 벡터 장이 심플렉틱 이중 군oids의 구조를 상속함을 보임.
• 푸아송 군oids의 이중성 이론을 적용하여 심플렉틱 이중 군oids의 측면 군oids가 이중 푸아송 군oids임을 입증함.
• 이중 벡터 다발과 리 알제브로이드 및 군oids의 구조 간의 호환 조건의 프레임워크를 활용함.
• 이중 구조에서 코탄젠트 벡터 장의 리 알제브로이드와 탄젠트 리 알제브로이드의 쌍대 구조 간의 자연스러운 동형사상을 기반으로 함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 LA-군oids의 리 알제브로이드 구조는 어떻게 그 기저가 되는 리 군oids의 리 알제브로이드 구조로 연장될 수 있는가?
• RQ2 이중 리 군oids 내의 두 LA-군oids의 연장된 리 알제브로이드 구조 간의 자연스러운 관계는 무엇인가?
• RQ3 이중 리 군oids의 코탄젠트 벡터 장은 자연스럽게 심플렉틱 이중 군oids의 구조를 지니는가?
• RQ4 심플렉틱 이중 군oids의 측면 군oids는 푸아송 군oids의 이중성과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 반복된 탄젠트와 코탄젠트의 구조에서의 자연스러운 동형사상은 이중 리 알제브로이드의 맥락으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 이중 리 군oids의 군oids 구조의 리 알제브로이드에 대한 연장된 리 알제브로이드 구조는 이중 리 군oids의 이중 LA-군oids의 리 알제브로이드 구조와 자연스럽게 동형임을 보임.
• 이중 리 군oids의 코탄젠트 벡터 장이 심플렉틱 이중 군oids임을 입증함으로써, 리 군oids의 코탄젠트 장의 심플렉틱 구조를 일반화함.
• 임의의 심플렉틱 이중 군oids의 측면 군oids는 상호 이중성인 푸아송 군oids이며, 이중 푸아송 군oids 쌍을 이룸.
• 이 구성은 이중 리 군oids 내의 두 LA-군oids의 리 알제브로이드 간에 자연스러운 동형사상을 제공함으로써, 이차 기하학에서의 고전적 동형사상들을 확장함.
• 결과적으로, 이중 탄젠트 다발과 이중 코탄젠트 다발에서의 알려진 동형사상들을 통합하고 일반화함.
• 이 프레임워크는 임의의 이중 리 군oids의 심플렉틱 코탄젠트 구조를 통해 유도되는 푸아송 군oids 간의 자연스러운 이중성을 확립함.