[논문 리뷰] Double logarithmic stability estimate in the identification of a scalar potential by a partial elliptic Dirichlet-to-Neumann map

Mourad Choulli, Yavar Kian외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 07.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 정적 슈뢰딩거 방정식에서 스칼라 포텐셜을 부분 Dirichlet-to-Neumann 사상으로부터 복원하는 역문제에 대해 이중 로그 안정성 추정을 수립한다. 복소 기하학적 옹호(CGO) 해와 아레산드린의 항등식을 사용하여, 소볼레프 및 $L^\infty$ 정규성 조건 하에서 $L^2$ 및 $H^{-1}$ 노름에 대한 안정성 경계를 도출한다. 이는 포텐셜 차이가 측정 오차의 이중 로그 항에 의해 제어됨을 보여주며, 이는 Sobolev 및 $L^\infty$ 정규성 조건 하에서 성립한다.

ABSTRACT

We examine the stability issue in the inverse problem of determining a scalar potential appearing in the stationary Schr{ö}dinger equation in a bounded domain, from a partial elliptic Dirichlet-to-Neumann map. Namely, the Dirichlet data is imposed on the shadowed face of the boundary of the domain and the Neumann data is measured on its illuminated face. We establish a log log stability estimate for the L2-norm (resp. the H minus 1-norm) of bounded (resp. L2) potentials whose difference is lying in any Sobolev space of order positive order.

연구 동기 및 목표

• 스체로딩거 방정식에서 부분 경계 측정치로부터 스칼라 포텐셜을 복원하는 역문제의 안정성 추정을 수립하는 것.
• 부분 Dirichlet-to-Neumann 사상으로부터의 측정 오차에 대한 포텐셜 재구성 오차의 의존도를 정량화하는 것.
• 정규성 조건 하에서 포텐셜 차이의 $L^2$ 및 $H^{-1}$ 노름에 대한 안정성 결과를 확장하는 것.
• 도전성 영상 응용 분야에서 부분 데이터 설정의 유일성 및 안정성에 대한 이론적 기초를 제공하는 것.

제안 방법

• 저자들은 경계의 일부에서 값이 0이 되는 복소 기하학적 옹호(CGO) 해를 사용하여 포텐셜을 탐사한다.
• 그들은 아레산드린의 항등식을 적용하여 포텐셜 차이와 DN 사상 차이 사이의 적분 항등식을 유도한다.
• 특히 선택된 주파수 집합에서 푸리에 계수의 경계를 유도하여 해의 행동을 제어한다.
• 에너지 추정과 소볼레프 공간 내의 보간 기법을 통해 안정성 부등식을 수립한다.
• 증명은 $H_{\Delta}(\Omega)$ 내의 전치 해와 $H^{-1/2}(\Gamma)$ 및 $H^{1/2}(G)$ 내에서 DN 사상의 유계성에 기반한다.
• 변수 변환과 DN 사상의 변환을 통해 이 방법을 도전성 문제로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부분 Dirichlet-to-Neumann 데이터로부터 스칼라 포텐셜을 식별하는 역문제에 대해 이중 로그 안정성 추정을 수립할 수 있는가?
• RQ2 포텐셜의 정규성과 측정 오차에 따라 포텐셜 재구성의 안정성은 어떻게 달라지는가?
• RQ3 오직 부분 경계 데이터만 이용할 경우 도달 가능한 최적의 안정성 비율은 무엇인가?
• RQ4 정규성 조건 하에서 안정성 결과를 $H^{-1}$ 노름과 $L^\infty$ 정규성으로 확장할 수 있는가?
• RQ5 부분 측정치 하에서 도전성 역문제와 안정성 추정은 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 논문은 이중 로그 안정성 추정을 수립한다: $\|q_1 - q_2\|_{L^2(\Omega)} \leq c\left(\|\widetilde{\Lambda}_{q_1,q_2}\| + \left|\ln \tilde{c} \left|\ln \|\widetilde{\Lambda}_{q_1,q_2}\|\right|\right|^{-t}\right)$ for $t > 0$.
• 또한 $H^{-1}$ 노름에 대해서는 안정성 추정이 $\|q_1 - q_2\|_{H^{-1}(\Omega)} \leq c\left(\|\widetilde{\Lambda}_{q_1,q_2}\| + \left|\ln \tilde{c} \left|\ln \|\widetilde{\Lambda}_{q_1,q_2}\|\right|\right|^{-1}\right)$ 로 주어진다.
• 안정성 상수 $c$ 및 $\tilde{c}$ 는 정규성 경계 $\delta$ 와 소볼레프 지수 $t$ 에만 의존한다.
• 이 결과는 $q_1, q_2 \in \mathcal{Q} \cap \delta B_{L^\infty(\Omega)}$ 및 $(q_2 - q_1)\chi_\Omega \in \delta B_{H^t(\mathbb{R}^n)}$ 라는 조건 하에서 성립한다.
• 도전성 문제에 응용하면, $L^2$ 노름에서 도전성 차이에 대해 유사한 이중 로그 안정성 추정이 도출된다.
• 도전성과 그 법선 도함수들이 각각 경계와 조명을 받는 면에서 일치하는 조건 하에서 안정성 추정은 안정적이다.