[논문 리뷰] `Double modules', double categories and groupoids, and a new homotopical double groupoid

Ronald Brown|ArXiv.org|2009. 03. 15.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 상대 호모토피 군의 호환성 조건을 보장하는 조건 하에, 위상공간 $X$ 와 부분공간 $A$, $B$, 그리고 기저 집합 $C \to A \bigcap B$ 에서 새로운 호모토피 이중 군oids를 구성한다. 이는 '이중 모듈러스'를 통해 이중 군oids를 일반화하고, $\rho_2(X,A,c)$ 와 $\rho_2(X,B,c)$ 를 모두 캡처하는 이중 군oids의 구조를 수립하여, 입방체 연결과 호모토피 올림을 통해 대칭적이고 이중 방향의 합성과 교환 법칙을 만족시킨다.

ABSTRACT

We give a rather general construction of double categories and so, under further conditions, double groupoids, from a structure we call a `double module'. We also give a homotopical construction of a double groupoid from a triad consisting of a space, two subspaces, and a set of base points, under a condition which also implies that this double groupoid contains two second relative homotopy groups.

연구 동기 및 목표

• 교차 모듈러스와 군oids에서 이중 군oids의 구성 방식을 '이중 모듈러스'를 사용하여 더 넓은 프레임워크로 일반화하는 것.
• 위상공간 $X$ 와 부분공간 $A$, $B$, 기저점들 $C \to A \cap B$ 에서 새로운 호모토피 이중 군oids를 구성하는 것.
• 모든 $c \in C$ 에 대해 상대 호모토피 군 $\pi_2(X,A,c)$ 와 $\pi_2(X,B,c)$ 를 모두 캡처할 수 있도록 보장하는 조건을 확보하는 것.
• 입방체 단순 복합체와 연결을 사용하여 이 새로운 이중 군oids에서 교환 법칙과 군oids 공리계를 수립하는 것.

제안 방법

• 공통 기저 $P$ 위에서 세 개의 범주 $M$, $H$, $V$ 를 포함하는 '이중 모듈러스' 구조로부터 이중 범주를 구성한다. 여기서 $H$ 와 $V$ 는 $M$ 에 작용한다.
• 수평 및 수직 합성은 각각 $m^d n$ 과 $p m^y$ 를 통해 정의되며, 군oids 유사 작용을 사용한다.
• 경계 방정식과 기하학적 일관성에서 유도된 교환 법칙 조건 $m^{yf} q = q m^{dz}$ 를 도입한다.
• 호모토피 구멍을 메우고 고차 호모토피를 구성하기 위해 입방체 단순 복합체 $S^\square(X)$ 와 연결 $\Gamma^\pm_i$ 를 적용한다.
• 상대 정점에 의한 호모토피와 추론 기법을 사용하여 사상들을 이중 군oids 구조로 변형한다.
• 연결을 사용하여 합성이 잘 정의됨을 보장함으로써, 기본 군oids와 유사한 방식으로 이중 군oids 공리계를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 '이중 모듈러스'와 같은 대수적 구조에서 이중 군oids를 체계적으로 구성할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 기저점들 $C \subseteq A \cap B$ 를 가진 삼중체 $(X,A,B)$ 가 잘 정의된 이중 군oids를 유도하는 데 필요한 위상적 조건은 무엇인가?
• RQ3 두 상대 호모토피 군 $\pi_2(X,A,c)$ 와 $\pi_2(X,B,c)$ 를 동시에 캡처하는 이중 군oids를 구성할 수 있는가?
• RQ4 입방체 연결과 호모토피 올림은 새로운 이중 군oids에서 교환 법칙을 어떻게 보장하는가?
• RQ5 이 새로운 이중 군oids는 이전의 교차 모듈러스나 cat-2-군oids 기반의 구성과 어떤 관계가 있는가?

주요 결과

• 이미지 $\pi_2(A,c) \to \pi_2(X,c)$ 와 $\pi_2(B,c) \to \pi_2(X,c)$ 가 모든 $c \in C$ 에 대해 일치할 경우, 삼중체 $(X,A,B,C)$ 에서 새로운 이중 군oids $\rho X_*$ 가 구성된다.
• 결과로 얻어진 이중 군oids는 각 $c \in C$ 에 대해 상대 호모토피 군 $\pi_2(X,A,c)$ 와 $\pi_2(X,B,c)$ 를 부분 구조로 포함한다.
• 입방체 연결 $\Gamma^\pm_i$ 의 사용으로 인해 호모토피 구멍을 상수 호모토피와 추론을 통해 메우며, 교환 법칙이 성립한다.
• 합성이 $m^d$ 와 $m^y$ 의 작용을 통해 정의됨으로써 군oids 공리계를 만족하며, 일관성이 보장된다.
• 조건 (Conn) 은 비자명하며, $C$ 가 싱글턴일지라도 $\rho X_*$ 가 이중 군oids가 되기 위해 필수적이다.
• 이 구성은 [BH78] 의 이전 작업을 일반화하며, 기존의 상대 호모토피 군을 초월하여 대칭적이고 이중 방향의 2차원 호모토피 프레임워크를 제공한다.