[논문 리뷰] Doubles for monoidal categories

Craig Pastro, Ross Street|arXiv (Cornell University)|2007. 11. 13.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 9인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 단일 V-카테고리의 '더블(double)' D𝒜를 도입하여, [D𝒜, V] ≃ Tamb(𝒜)라는 동치를 통해 탐바라 모듈을 분류한다. 닫힌 𝒜에 대해서는 강한 및 왼쪽 강한 탐바라 모듈을 정의하고, 이들의 카테고리가 복합화 모나이드 카테고리 [𝒜, V]의 (느슨한) 중심과 동치임을 보이며, 국소화된 더블 Dₛ𝒜 및 Dₗₛ𝒜를 통해 유사한 동치를 제공한다. 주요 기여는 풍부한 카테고리 이론에서 탐바라 모듈, 중심, 그리고 더블 간의 통합된 프레임워크를 제공하는 것이다.

ABSTRACT

In a recent paper, Daisuke Tambara defined two-sided actions on an endomodule (= endodistributor) of a monoidal V-category A. When A is autonomous (= rigid = compact), he showed that the V-category (that we call Tamb(A)) of so-equipped endomodules (that we call Tambara modules) is equivalent to the monoidal centre Z[A,V] of the convolution monoidal V-category [A,V]. Our paper extends these ideas somewhat. For general A, we construct a promonoidal V-category DA (which we suggest should be called the double of A) with an equivalence [DA,V] \simeq Tamb(A). When A is closed, we define strong (respectively, left strong) Tambara modules and show that these constitute a V-category Tamb_s(A) (respectively, Tamb_{ls}(A)) which is equivalent to the centre (respectively, lax centre) of [A,V]. We construct localizations D_s A and D_{ls} A of DA such that there are equivalences Tamb_s(A) \simeq [D_s A,V] and Tamb_{ls}(A) \simeq [D_{ls} A,V]. When A is autonomous, every Tambara module is strong; this implies an equivalence Z[A,V] \simeq [DA,V].

연구 동기 및 목표

• 모나이드 V-카테고리에 대해 탐바라의 자동 카테고리 결과를 일반화하기 위해, 탐바라 모듈을 분류하는 보편적 객체를 구성함으로써 자동 카테고리 외의 일반적인 모나이드 V-카테고리로의 확장.
• 닫힌 모나이드 V-카테고리의 맥락에서 강한 및 왼쪽 강한 탐바라 모듈을 정의하고 연구함.
• 복합화 모나이드 카테고리 [𝒜, V]의 (느슨한) 중심이 국소화된 더블 𝒟에 대해 [𝒟, V]의 함자 카테고리와 동치임을 보임.
• 드린펠트의 더블, 모나이드 중심, 그리고 프로모나이드 스트럭처를 풍부한 카테고리 이론에서 통합하는 범용 카테고리 이론 프레임워크 수립.

제안 방법

• 탐바라 모듈을 분류하는 보편성 조건 [D𝒜, V] ≃ Tamb(𝒜)를 만족하는 프로모나이드 스트럭처를 가진 V-카테고리로 D𝒜를 구성함으로써, 자동 카테고리의 경우에 탐바라의 동치를 일반화.
• 행동에 대한 일관성 조건을 사용하여 강한 및 왼쪽 강한 탐바라 모듈을 정의함으로써, 모나이드 카테고리에서 중심의 개념을 일반화.
• 복합화 카테고리 [𝒜, V]의 (느슨한) 중심을 [𝒟ₛ𝒜, V] ≃ Tambₛ(𝒜) 및 [𝒟ₗₛ𝒜, V] ≃ Tambₗₛ(𝒜)라는 동치를 통해 모델링하기 위해 D𝒜의 국소화 Dₛ𝒜 및 Dₗₛ𝒜를 도입.
• 데이의 복합화와 모나이드 구조 및 프로모나이드 구조 간의 대응을 활용하여, 브라운드 및 느슨한 브라운드 스트럭처를 더블로 이행.
• V-자연성과 V에서의 대칭성을 활용하여, V가 V-카테고리로서 중심이 V 자체와 동치임을 보이며, 이는 구성의 일관성을 강조함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 탐바라의 탐바라 모듈과 모나이드 중심 간의 동치를 자동 카테고리 외의 범위로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 모나이드 V-카테고리 𝒜에 어떤 구조가 있으면서 그 (느슨한) 중심이 다시 [𝒟, V]의 함자 카테고리가 되는가?
• RQ3 모든 모나이드 V-카테고리 𝒜에 대해 [D𝒜, V]가 탐바라 모듈을 분류하는 보편적 '더블' D𝒜를 구성할 수 있는가?
• RQ4 강한 및 왼쪽 강한 탐바라 모듈은 복합화 모나이드 카테고리 [𝒜, V]의 (느슨한) 중심과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 모나이드 V-카테고리 𝒜의 더블 D𝒜는 [D𝒜, V] ≃ Tamb(𝒜)를 만족하는 프로모나이드 스트럭처를 가진 V-카테고리로서, 탐바라 모듈의 보편 분류자 역할을 한다.
• 닫힌 𝒜에 대해, 강한 탐바라 모듈의 카테고리 Tambₛ(𝒜)는 중심 𝒪[𝒜, V]와 동치이며, 왼쪽 강한 모듈의 카테고리 Tambₗₛ(𝒜)는 느슨한 중심 𝒪ₗ[𝒜, V]와 동치이다.
• D𝒜의 국소화 Dₛ𝒜 및 Dₗₛ𝒜는 이러한 동치를 실현하며, [Dₛ𝒜, V] ≃ Tambₛ(𝒜) 및 [Dₗₛ𝒜, V] ≃ Tambₗₛ(𝒜)를 만족한다.
• 𝒜가 자동일 경우, 모든 탐바라 모듈은 강한 모듈이므로 𝒪[𝒜, V] ≃ [D𝒜, V]가 되며, 이는 탐바라의 원래 결과를 특수한 경우로 복원한다.
• 이 구성은 D𝒜 및 그 국소화에 대해 느슨한 브라운드 및 브라운드 프로모나이드 스트럭처를 부여하여, [𝒟, V]가 데이 복합화에 대해 닫힌 모나이드 카테고리가 되게 한다.