[논문 리뷰] Doubling Constructions for Covering Groups and Tensor Product L-Functions

Yuanqing Cai, Solomon Friedberg외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 29.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 10인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 메타플레틱 커버링 군으로의 배수법 일반화를 시도하며, 커버링 군 위의 진실된 컷피드랄 아미타빅 표현에 대해 부분 표준 텐서곱 L-함수를 나타내는 전역 적분을 구성한다. 주요 결과는 홀수 m에 대해 적분이 국소 L-함수와 표준 L-함수를 포함하는 L-함수 비율을 유도함을 보여주며, 이는 위트락커-스페흐-샤리카 잔여류와 추측적 숨겨진 셰이머 이론을 기반으로 한다.

ABSTRACT

This is a research announcement concerning a series of constructions obtained by applying the "doubling method" from the theory of automorphic forms to covering groups. Using these constructions, we obtain partial tensor product L-functions attached to generalized Shimura lifts, which may be defined in a natural way since at almost all places the representations are unramified principal series.

연구 동기 및 목표

• 선형 고전 군에서의 배수법을 메타플레틱 커버링 군으로 확장하기 위해.
• 커버링 군 위의 진실된 컷피드랄 아미타빅 표현에 대해 부분 표준 텐서곱 L-함수를 정의하고 연구하기 위해.
• 아이젠스타인 급수와 푸리에 계수를 이용하여 이러한 L-함수의 전역 적분 표현을 수립하기 위해.
• 표준 위트락커 모델이 실패하는 고차 커버에서 잔여 표현을 구성하는 데 도전하는 문제를 다루기 위해.
• 추측적 셰이머 이론을 바탕으로 이러한 L-함수의 존재를 위한 프레임워크를 제안하고 특수 케이스에서 검증하기 위해.

제안 방법

• 분할 고전 군의 m중 메타플레틱 커버링에 대해 고전적 배수법을 적응하여, G(F)×G(F)\G(A)×G(A) 위의 전역 적분을 사용한다.
• 더 큰 고전 군 H^{(r)}(A)의 커버링 위에 아이젠스타인 급수 E^{U,ψ_U}_{τ^{(r)}}를 사용하며, 유도 데이터는 위트락커-스페흐-샤리카 표현과 연결된다.
• 아이젠스타인 급수의 푸리에 계수를 통해 L-함수를 추출하며, 표현은 GL_k^{(r)}(A) 위의 아이젠스타인 급수의 잔여류로 구성된다.
• 선택된 섹션 G(A) → G^{(m)}(A)의 선택에 독립성을 확보하기 위해, r를 m에 따라 조건화한다 (m이 홀수이면 r = m, G=Sp_{2n}이고 m가 짝수이면 r = m/2).
• 전개 기법을 적용하여 전역 적분을 표현 π^{(m)}과 그 쌍대 표현의 내적과 연결한다.
• 랑글랜드-샤히디 방법과 상수 항 분석을 통해 인터윈킹 연산자의 극과 L-함수 극을 연결하여 연구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 진실된 아미타빅 표현이 메타플레틱 커버링 군 위에 존재할 때, 배수법를 일반화할 수 있는가?
• RQ2 커버링 군 위의 진실된 컷피드랄 표현과 일반선형 군 커버 위의 표현의 텐서곱과 관련된 L-함수의 구조는 어떠한가?
• RQ3 GL_k의 고차 커버 위의 아이젠스타인 급수의 잔여류가 비자명한 표현을 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 커버링 군 위의 국소 L-함수는 일반선형 군 위의 것과 일반화된 셰이머 이론을 통해 어떻게 관련되는가?
• RQ5 이 논문에서 구성된 전역 적분은 비영이면서 원하는 L-함수 비율과 동일한가?

주요 결과

• 홀수 m에 대해 전역 적분 Z(s, π^{(m)}, τ^{(m)})는 π^{(m)}×τ^{(m)}의 표준 L-함수와 τ^{(m)}의 대칭 및 외적 제곱 표현에서의 L-함수를 포함하는 L-함수 비율과 같다.
• L-함수 비율은 명시적으로 L(αs - (α-1)/2, π^{(m)}×τ^{(m)})을 τ^{(m)}의 대칭 및 외적 제곱 표현에서의 L-함수의 곱으로 나눈 형태로 주어지며, 여기서 α = m(2nmk + 1).
• 선택된 섹션 G(A) → G^{(m)}(A)의 선택에 독립적이며, 이는 m에 대한 r의 선택에 의해 보장된다.
• m=2일 때, Sp_{2k}^{(2)}(A)의 최소 표현에 대해 전역 적분을 통해 GL_{2k}^{(2)}(A) 위의 최대 포물형 아이젠스타인 급수의 잔여 표현의 비영성을 보였다.
• 적분 ∫_{Sp_{2k}(F)\Sp_{2k}(A)} E_{τ^{(2)}}^{(2)}(g) θ_{Sp}^{(2)}(g) dg 는 절대 수렴하며, 일부 데이터에 대해 식이 항등적으로 0이 아니므로 잔여 표현이 0이 아님을 증명한다.
• 이 방법은 추측적 일반화된 셰이머 이론에 의존한다; 이러한 이론이 존재하고 컷피드랄 표현으로 올라간다면, 부분 L-함수 L^S(s, τ^{(m)}×τ̂^{(m)})는 s=1에서 단순 극을 가지며, 잔여 표현의 존재를 뒷받침한다.