[논문 리뷰] Doubly Coupled Designs for Computer Experiments with both Qualitative and Quantitative Factors

Feng Yang, C. Devon Lin외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 03. 12.

Advanced Multi-Objective Optimization Algorithms인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 정성적 요인과 정량적 요인을 모두 포함하는 컴퓨터 실험을 위한 이중으로 결합된 설계(DCDs)를 제안하며, 정량적 요인과 각 정성적 요인 개별 요인 간 및 모든 정성적 요인 쌍 간의 최적의 계층화를 보장한다. 마진널리 결합된 설계(MCDs)를 확장함으로써, 정규직교배열과 순열을 기반으로 한 대수적 구성 방법을 통해 우수한 공간 메우기 성질을 달성하며, 실용적 구현을 위한 존재 조건과 세 가지의 구체적 구성 방법이 확립되었다.

ABSTRACT

Computer experiments with both qualitative and quantitative input variables occur frequently in many scientific and engineering applications. How to choose input settings for such experiments is an important issue for accurate statistical analysis, uncertainty quantification and decision making. Sliced Latin hypercube designs are the first systematic approach to address this issue. However, it comes with the increasing cost associated with an increasing large number of level combinations of the qualitative factors. For the reason of run size economy, marginally coupled designs were proposed in which the design for the quantitative factors is a sliced Latin hypercube design with respect to each qualitative factor. The drawback of such designs is that the corresponding data may not be able to capture the effects between any two (and more) qualitative factors and quantitative factors. To balance the run size and design efficiency, we propose a new type of designs, doubly coupled designs, where the design points for the quantitative factors form a sliced Latin hypercube design with respect to the levels of any qualitative factor and with respect to the level combinations of any two qualitative factors, respectively. The proposed designs have the better stratification property between the qualitative and quantitative factors compared with marginally coupled designs. The existence of the proposed designs is established. Several construction methods are introduced, and the properties of the resulting designs are also studied.

연구 동기 및 목표

• 마진널리 결합된 설계(MCDs)의 한계를 해결하기 위해, 다수의 정성적 요인과 정량적 요인 간의 상호작용 효과를 포착하지 못하는 문제를 해결한다.
• 정량적 요인과 모든 개별 정성적 요인, 그리고 모든 정성적 요인 쌍 간에 강력한 계층화를 유지하는 새로운 설계의 클래스를 개발한다.
• 복잡한 컴퓨터 시뮬레이터에서 혼합된 요인 유형을 포함할 경우에 대한 실행 수의 경제성과 향상된 설계 효율성 간의 균형을 이루기 위한 목표를 달성한다.
• 이중으로 결합된 설계(DCDs)의 존재 조건을 설정하고, 보장된 구조적 및 통계적 성질을 갖는 체계적인 구성 방법을 제공한다.

제안 방법

• 정량적 요인 설계가 각 개별 정성적 요인과 모든 정성적 요인 쌍에 대해 잘린 라틴 초체(LH)를 이루는 이중으로 결합된 설계(DCDs)를 제안한다.
• 정성적 요인의 설계로 정규직교배열(OAs)을 사용하며, 특히 정성적 요인 설계 D₁의 기본 구조로 OA(n, q, s, 2)를 사용한다.
• 세 가지 대수적 구성 방법을 도입한다: 구성 1과 2는 순열을 사용하여 정량적 요인 설계 D₂를 생성하며, 블록과 순열의 배치 방식에 차이가 있다.
• 구성 3은 특정 직교성 및 조합 조건을 만족하는 두 개의 배열 A와 B를 사용하며, 정규직교배열의 성질에 따라 두 가지 경우로 나뉜다.
• 모든 정성적 요인의 수준과 모든 정성적 요인 쌍의 수준 조합에 대해, 해당하는 D₂의 투영이 LHD가 되도록 보장하여 일차원 계층화를 확보한다.
• 완전 해결 가능한 정규직교배열과 강력한 정규직교배열과 같은 조합 설계를 활용하여 이론적 공간 메우기 성질과 구조적 성질을 보장한다.

Figure 1: Scatterplots of ${\mbox{\boldmath$d$}}_{1}$ versus ${\mbox{\boldmath$d$}}_{2}$ in Example 1 : (a) points represented by $\ast,+,\circ$ and $\lozenge$ correspond to the level combinations (0, 0), (0, 1), (1, 0), and (1, 1) of factors $({\mbox{\boldmath$z$}}_{1},{\mbox{\boldmath$z$}}_{2})$ ;

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정량적 요인 설계가 각 개별 정성적 요인 뿐 아니라 모든 정성적 요인 쌍에 대해서도 최적의 일차원 계층화를 유지할 수 있는 설계를 구성할 수 있는가?
• RQ2 정성적 요인 설계가 강도 2의 정규직교배열인 경우, 이러한 이중으로 결합된 설계의 존재에 필요한 필수 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ3 대수적 및 조합적 방법을 사용하여 이중으로 결합된 설계를 체계적으로 구성할 수 있는가? 이때 유망한 공간 메우기 성질과 계층화 성질을 유지할 수 있는가?
• RQ4 증가된 설계 제약 조건으로 인해 정성적 요인의 수와 정량적 요인의 수 사이에 어떤 상호 교환 관계가 존재하는가?
• RQ5 다수의 정성적 요인 상호작용가 있는 상황에서, 이중으로 결합된 설계는 마진널리 결합된 설계보다 더 나은 공간 메우기 성질을 보장할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 이중으로 결합된 설계(DCDs)는 정량적 요인과 정성적 요인 개별 요인, 그리고 모든 정성적 요인 쌍 간에 뛰어난 계층화 성질을 달성하며, 설계 효율성에서 마진널리 결합된 설계를 능가한다.
• 정성적 요인 설계가 강도 2의 정규직교배열인 조건 하에서 DCD의 존재가 입증되었으며, 정성적 요인의 수에 대한 날카로운 상한선이 제시되었다.
• 세 가지의 구체적 구성 방법이 제안되었으며, 두 가지는 순열과 블록 배열에 기반하고, 하나는 특정 조합 조건을 만족하는 배열 A와 B의 쌍에 기반한다.
• 구성 3은 배열 B와 R이 정규직교배열인 경우, 정량적 요인에 대해 보장된 공간 메우기 성질을 갖는 설계를 생성하며, 고차원 환경에서의 우수한 성능을 보장한다.
• 정성적 요인의 수는 설계 제약 조건으로 인해 제한되며, 주어진 실행 수의 경우 DCD는 더 강력한 결합 요구 조건으로 인해 MCD보다 적은 정성적 요인을 수용할 수 있다.
• 모든 구성 방법은 대수적이고 계산적으로 효율적이며 반복 최적화가 필요 없어 실용적 응용을 위한 DCD의 신속한 생성이 가능하다.