[논문 리뷰] Doubly nonnegative relaxation method for solving multiple objective quadratic programming problems

Yanqin Bai, Chuan-Hao Guo|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 20.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 선형 가중합 방법을 통해 다중 목표 이차계획문제(MOQP)를 단일 목표 문제로 변환한 후, 비볼록 문제를 볼록인 이중 비음성 프로그래밍(DNNP)으로 이완하는 이중 비음성 이완 방법을 제안한다. DNNP의 최적 해는 온건한 조건 하에 (약한) 파레토 최적 해를 제공하며, 포트폴리오 선택 문제에 대한 수치 결과는 이 방법이 낮은 위험과 높은 수익을 동시에 달성하면서도 희박한 투자 배분을 이끌어내는 데 효과적이고 유망함을 보여준다.

ABSTRACT

Multicriterion optimization and Pareto optimality are fundamental tools in economics. In this paper we propose a new relaxation method for solving multiple objective quadratic programming problems. Exploiting the technique of the linear weighted sum method, we reformulate the original multiple objective quadratic programming problems into a single objective one. Since such single objective quadratic programming problem is still nonconvex and NP-hard in general. By using the techniques of lifting and doubly nonnegative relaxation, respectively, this single objective quadratic programming problem is transformed to a computable convex doubly nonnegative programming problem. The optimal solutions of this computable convex problem are (weakly) Pareto optimal solutions of the original problem under some mild conditions. Moreover, the proposed method is tested with two examples and a practical portfolio selection problem. The test problems are solved by exttt{CVX} package which is a solver for convex optimization. The numerical results show that the proposed method is effective and promising.

연구 동기 및 목표

• 실제 응용에서 비볼록이고 NP-난이도인 다중 목표 이차계획문제(MOQP)를 해결하는 데 도전하는 것.
• 비볼록 MOQP 문제의 (약한) 파레토 최적 해를 식별할 수 있는 계산적으로 실현 가능한 방법을 개발하는 것.
• 선형 가중합 방법을 러핑 및 이중 비음성 이완 기법과 융합하여 원래의 비볼록 문제를 볼록이고 해를 구하기 쉬운 형태로 변환하는 것.
• 기준 및 실제 포트폴리오 선택 문제에서 이 방법의 효과성을 검증하는 것.
• 이 방법이 희박한 최적 해를 생성하여 핵심 자산에 집중된 투자 전략을 반영할 수 있는지 보여주는 것.

제안 방법

• 다중 목표 문제를 단일 목표 이차계획문제(SOQP)로 변환하기 위해 선형 가중합 방법을 적용한다.
• 러핑 기법을 사용하여 SOQP를 원래 문제의 구조를 유지하는 완전 양성 프로그래밍(CPP) 문제로 재구성한다.
• CPP 문제에 대해 이중 비음성 이완(DNNP)을 적용하여 볼록이고 계산적으로 실현 가능한 최적화 문제로 변환한다.
• DNNP 문제의 최적 해는 온건한 조건 하에 원래 MOQP 문제의 (약한) 파레토 최적 해를 도출함을 보여준다.
• CVX 패키지(볼록 최적화 솔버)를 사용하여 DNNP 문제를 해결함으로써 수치적 검증이 가능해진다.
• 비음성 체계와 선형 제약 조건의 구조를 활용하여 이완 과정 전반에 걸쳐 타당성을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중 비음성 이완 방법은 비볼록 MOQP 문제의 파레토 최적 해를 효과적으로 근사할 수 있는가?
• RQ2 포트폴리오 선택 문제에서 기존 방법과 비교해 본다면, 제안된 방법의 해 품질과 희박성 측면에서 어떤가?
• RQ3 DNNP 이완 문제의 해가 원래 MOQP 문제의 (약한) 파레토 최적 해와 일치하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 이 방법은 핵심 자산에 집중된 투자 배분을 희박한 최적 해로 생성할 수 있는가?
• RQ5 선형 가중합 방법에서 가중치 벡터의 선택에 따라 결과가 얼마나 민감하게 영향을 받는가?

주요 결과

• 예제 5에서 λ = (0.3482, 0.1655, 0.4863)일 때, 이 방법은 위험 0.1894와 수익 15.6800을 달성하여 [16]의 결과보다 위험 감소와 수익 향상 측면에서 뛰어난 성능을 보였다.
• 최적 해 벡터 x*는 오직 세 개의 비영성분만을 가지며, 이는 몇몇 핵심 주식에 집중된 투자임을 시사한다.
• λ = (0.5141, 0.1931, 0.2927)일 때, 이 방법은 위험 0.1320과 수익 15.5462를 도출하여 위험과 수익의 균형을 잘 잡는 능력을 다시 한번 확인시켰다.
• 기준 [16]과 비교해 이 방법은 더 낮은 위험(0.1894 vs. 0.6823)과 더 높은 수익(15.6800 vs. 7.5079)을 기록하여 유사하거나 더 우수한 성능을 보였다.
• DNNP 이완은 원래 비볼록 문제의 구조를 효과적으로 포착하여 고품질의 파레토 해로 수렴하는 데 기여했다.
• 이 방법은 다양한 가중치 벡터에 대해 강건성을 보였으며, 투자자가 선호도를 조정하고 맞춤형 위험-수익 트레이드오프를 얻을 수 있도록 했다.