[논문 리뷰] Doubly Reflected BSDEs and ${\cal E}^{f}$-Dynkin games: beyond the right-continuous case

Miryana Grigorova, Peter Imkeller외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 03.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 22인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $S^2$ 내의 과정을 그들의 가장 작은 강한 슈퍼마틴게일 랩핑으로 매핑하는 연산자 $\mathcal{R}$에 대한 단조 수렴 결과를 확립한다. 이는 기존의 오른쪽 연속인 경우를 초월하여 알려진 결과를 확장한다. 비내림차순 수열 $ (\xi_n) $ 이 $ S^2 $ 내의 $ \xi $로 수렴할 경우, $ \mathcal{R}[\xi] = \lim_{n \to \infty} \mathcal{R}[\xi_n] $ 임을 보이며, 이는 비내림차순 강한 슈퍼마틴게일의 극한이 스스로 강한 슈퍼마틴게일임을 이용한다.

ABSTRACT

We formulate a notion of doubly reflected BSDE in the case where the barriers $ξ$ and $ζ$ do not satisfy any regularity assumption and with a general filtration. Under a technical assumption (a Mokobodzki-type condition), we show existence and uniqueness of the solution. In the case where $ξ$ is right upper-semicontinuous and $ζ$ is right lower-semicontinuous, the solution is characterized in terms of the value of a corresponding $\mathcal{E}^f$-Dynkin game, i.e. a game problem over stopping times with (non-linear) $f$-expectation, where $f$ is the driver of the doubly reflected BSDE. In the general case where the barriers do not satisfy any regularity assumptions, the solution of the doubly reflected BSDE is related to the value of ''an extension'' of the previous non-linear game problem over a larger set of ''stopping strategies'' than the set of stopping times. This characterization is then used to establish a comparison result and extit{a priori} estimates with universal constants.

연구 동기 및 목표

• 이중으로 반사된 BSDE 및 $\mathcal{E}^f$-다인킨 게임 이론을 반드시 오른쪽 연속이 아니어야 하는 과정으로 확장하기 위해.
• 과정을 그들의 가장 작은 강한 슈퍼마틴게일 랩핑으로 매핑하는 연산자 $\mathcal{R}$에 대한 단조 수렴 성질을 확립하기 위해.
• 특정 조건 하에 $S^2$ 내의 비내림차순 수열의 과정의 극한이 $S^2$에 남아 있을 경우, 그들의 $\mathcal{R}$-이미지의 수렴이 유지됨을 증명하기 위해.
• 반사된 BSDE 및 강한 슈퍼마틴게일의 성질을 이용하여 고전적인 최적 정지 이론 결과를 오른쪽 연속이 아닌 설정으로 일반화하기 위해.

제안 방법

• 연산자 $\mathcal{R}[\xi]$ 는 장애물이 $\xi$인 반사된 BSDE의 해의 첫 번째 성분으로 정의되며, 이는 $\xi$의 슈넬렌 랩핑에 해당한다.
• 증명은 [MG3]의 정리 3.1에 기반하며, 이는 $\mathcal{R}[\xi]$ 가 모든 정지 시간 $\tau \geq \theta$ 에 대해 $\mathbb{E}[\xi_\tau \mid \mathcal{F}_\theta]$ 의 본질적 최대값임을 확인함으로써, $\xi$ 를 지배하는 가장 작은 강한 슈퍼마틴게일임을 보장한다.
• $\mathcal{R}$ 의 단조성은 $\mathcal{R}[\xi_n]$ 이 $n$ 에 대해 비내림차순 수열을 이룬다는 것을 보여주며, 따라서 어떤 극한 $X \in S^2$ 로 수렴한다.
• 비내림차순 강한 슈퍼마틴게일의 극한에 대한 레베그 정리의 조건부 기대값 적용을 통해 $X$ 가 강한 슈퍼마틴게일임을 보였다.
• 그 후, 강한 슈퍼마틴게일의 $\mathcal{R}$-이미지가 자기 자신임을 이용하여 $X = \mathcal{R}[X]$ 임을 증명하였다.
• 마지막으로, $X \geq \xi$ 와 $\mathcal{R}$ 의 정의로부터 $X \geq \mathcal{R}[\xi]$ 를 유도하였으며, 이는 $\mathcal{R}[\xi] = X = \lim_{n \to \infty} \mathcal{R}[\xi_n]$ 에 이르게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연산자 $\mathcal{R}$ 는 $S^2$ 내의 비내림차순 수열에 대해 단조 극한을 보존하는가?
• RQ2 만약 $\xi_n \uparrow \xi$ 이고 $\xi \in S^2$ 이며 오른쪽 연속성이 없더라도, $\mathcal{R}[\xi_n]$ 이 $\mathcal{R}[\xi]$ 로 수렴함을 보장할 수 있는가?
• RQ3 오른쪽 연속성이 없을 경우, 비내림차순 강한 슈퍼마틴게일 수열의 극한이 스스로 강한 슈퍼마틴게일인가?
• RQ4 반사된 BSDE의 맥락에서, 슈넬렌 랩핑(즉, $\xi$ 를 지배하는 가장 작은 강한 슈퍼마틴게일)은 단조 극한 하에서 어떻게 행동하는가?
• RQ5 $\xi_n \uparrow \xi$ 이고 $S^2$ 내일 경우, $\mathcal{R}[\xi] = \lim_{n \to \infty} \mathcal{R}[\xi_n]$ 가 성립하기 위한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 연산자 $\mathcal{R}$ 는 비감소적이다: $\xi \leq \xi'$ 이면 $\mathcal{R}[\xi] \leq \mathcal{R}[\xi']$ 이다.
• 만약 $\xi$ 가 강한 슈퍼마틴게일이면 $\mathcal{R}[\xi] = \xi$ 이며, 이는 연산자가 강한 슈퍼마틴게일을 고정시킴을 의미한다.
• 모든 $\xi \in S^2$ 에 대해 $\mathcal{R}[\xi]$ 는 강한 슈퍼마틴게일이며 $\mathcal{R}[\xi] \geq \xi$ 를 만족하므로, 이는 그러한 과정 중 가장 작은 것이다.
• 비내림차순 수열 $\mathcal{R}[\xi_n]$ 의 극한 $X = \lim_{n \to \infty} \mathcal{R}[\xi_n]$ 은 강한 슈퍼마틴게일이며, 이는 강한 슈퍼마틴게일의 비내림차순 극한이기 때문이다.
• $X = \mathcal{R}[X]$ 라는 등식이 성립함으로써, 극한 $X$ 가 $\mathcal{R}$ 에 대해 불변임을 확인하였다.
• $X \geq \mathcal{R}[\xi]$ 와 $X \leq \mathcal{R}[\xi]$ 를 모두 유도함으로써 $\mathcal{R}[\xi] = \lim_{n \to \infty} \mathcal{R}[\xi_n]$ 이 성립함을 증명하였으며, 이는 단조 수렴 성질을 입증한다.