[논문 리뷰] Doubly stochastic distributions of extreme events

Marco Marani, Enrico Zorzetto|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 26.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 17인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 연간 변동성을 사건 빈도와 크기 분포 양쪽 모두에 고려하는 비점근적, 이重확률적 접근법인 메타통계적 극값 분포(MEVD)를 소개한다. 매년의 사건 수와 그 분포의 모수를 랜덤 변수로 모델링함으로써 MEVD는 특히 짧은 기록에서 고분위수 추정을 향상시켜 전통적인 극값 이론과 관련된 이중확률 모델을 능가한다.

ABSTRACT

The distribution of block maxima of sequences of independent and identically-distributed random variables is used to model extreme values in many disciplines. The traditional extreme value (EV) theory derives a closed-form expression for the distribution of block maxima under asymptotic assumptions, and is generally fitted using annual maxima or excesses over a high threshold, thereby discarding a large fraction of the available observations. The recently-introduced Metastatistical Extreme Value Distribution (MEVD), a non-asymptotic formulation based on doubly stochastic distributions, has been shown to offer several advantages compared to the traditional EV theory. In particular, MEVD explicitly accounts for the variability of the process generating the extreme values, and uses all the available information to perform high-quantile inferences. Here we review the derivation of the MEVD, analyzing its assumptions in detail, and show that its general formulation includes other doubly stochastic approaches to extreme value analysis that have been recently proposed.

연구 동기 및 목표

• 고전적 극값 이론의 한계를 해결하기 위해, 대부분의 관측치를 기각하고 점근적 수렴을 가정하는 것.
• 사건 빈도와 크기 분포의 연간 변동성을 명시적으로 고려하는 비점근적 극값 모델을 개발하기 위해.
• 최근의 이중확률적 접근법, 예를 들어 De Michele와 Avanzi(2018)의 슈퍼통계적 극값 분포를 더 넓은 MEVD 프레임워크 아래 통합하고 일반화하기 위해.
• 경쟁 모델의 근본 가정, 특히 De Michele와 Avanzi(2018)에서 제시한 제한적인 이항분포 가정을 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 매년의 사건 수에 대한 혼합모형으로 MEVD를 수립하며, 매년의 최댓값은 개별 사건 크기의 누적분포함수의 n제곱으로 유도된다.
• 사건 수(N)와 사건 크기 분포의 모수(θ)를 연도 간 랜덤 변수로 간주함으로써 이중확률 프레임워크를 도입한다.
• MEVD의 일반형을 ζ(x) = Σ p(n) F(x|C,w)^n 으로 유도하며, 여기서 p(n)은 사건 수의 분포이고 F(x|C,w)는 비영인 사건에 대한 Weibull CDF이다.
• N에 대해 이항분포를 가정함으로써 De Michele와 Avanzi(2018)의 슈퍼통계적 극값 분포를 MEVD의 특수한 경우로 재구성한다.
• 관측된 연간 최댓값에 대한 적합도를 향상시키기 위해 Weibull 분포의 임계값 파rameter를 캘리브레이션하기 위해 코모고로프-스미르노프 통계량을 사용한다.
• 21,510개의 GHCN 기상관측소 데이터를 사용하여 모델을 검증하였으며, 제1차 마르코프 체인이 제0차 마르코프 체인보다 사건 발생을 더 잘 표현함을 보였지만, 단순화를 위해 후자를 사용하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 MEVD는 짧은 데이터 기록에서 고전적 극값 이론에 비해 극값 추정을 어떻게 향상시키는가?
• RQ2 MEVD는 De Michele와 Avanzi(2018)의 슈퍼통계적 접근과 같은 다른 이중확률적 극값 모델과 어떤 관계가 있는가?
• RQ3 극값 모델링에서 사건 수에 대해 이항분포를 가정하는 것이 어떤 의미를 갖는가?
• RQ4 사건 빈도와 크기 모수의 연간 변동성이 고분위수 추정의 정확성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 시간적 의존성은 사건 발생에 어떤 역할을 하는가? 그리고 이는 제0차 마르코프 가정의 타당성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 사건 수가 이항분포를 따를 경우, MEVD는 De Michele와 Avanzi(2018)의 슈퍼통계적 극값 분포를 특수한 경우로 일반화하고 포함한다.
• MEVD는 특히 관측 연도 수(S)가 환류기간(T_r)에 비해 작은 짧은 기록 상황에서 극값 추정을 크게 향상시킨다.
• 이항분포를 사건 수에 대해 가정하는 것은 제한적이지만, 닫힌 형태의 표현식을 도출하여 슈퍼통계적 모델과 일치함을 입증하며, 특정 조건 하에서의 사용 타당성을 뒷받침한다.
• 21,510개의 GHCN 기상관측소에 대한 실증 분석 결과, 제1차 마르코프 체인이 제0차 마르코프 체인보다 강우 사건 발생을 더 잘 표현하지만, 분석의 용이성을 위해 후자를 사용하였다.
• MEVD 프레임워크는 극값이 아닌 사건까지 포함한 모든 가용 데이터를 완전히 활용할 수 있어, 전통적인 연간 최댓값 접근법에 비해 통계적 효율성을 높인다.
• 관측 불확실성에 대해서도 강인하며, 시간당 및 인공위성 기반 강우 데이터에 대한 적용 사례를 통해 원격 감시 강우 추정치에서도 잘 작동함을 입증하였다.