[논문 리뷰] Drawing graphs with vertices and edges in convex position

Ignacio García-Marco, Kolja Knauer|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 07.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Halman, Onn, Rothblum의 추측을 해결하며, 꼭짓점과 간선 중점이 엄격히 볼록 위치에 있는 그래프(Gs_s)가 비평면적일 수 있으며, 최대 2n−3개의 간선을 가질 수 있음을 증명한다. 이는 이전에 추측된 3n−6 상한보다 크게 향상된 결과이다. 약한 볼록성의 변형을 도입하고, Gw_s에 대한 정확한 상한(2n−3개 간선)을 확립하며, 문제를 볼록 점 집합의 믹스키 스트럼(Minkowski sum)과 연결하여, A+A의 가장 큰 약한 볼록 부분집합 크기가 2n이며, 엄격히 볼록한 부분집합은 1.5n에서 2n−2개의 점 사이에 있음을 보여준다.

ABSTRACT

A graph has strong convex dimension $2$, if it admits a straight-line drawing in the plane such that its vertices are in convex position and the midpoints of its edges are also in convex position. Halman, Onn, and Rothblum conjectured that graphs of strong convex dimension $2$ are planar and therefore have at most $3n-6$ edges. We prove that all such graphs have at most $2n-3$ edges while on the other hand we present a class of non-planar graphs of strong convex dimension $2$. We also give lower bounds on the maximum number of edges a graph of strong convex dimension $2$ can have and discuss variants of this graph class. We apply our results to questions about large convexly independent sets in Minkowski sums of planar point sets, that have been of interest in recent years.

연구 동기 및 목표

• Halman, Onn, Rothblum의 추측을 해결한다. 즉, 강한 볼록 차원 2인 그래프는 평면적이고, 따라서 최대 3n−6개의 간선을 가진다.
• 꼭짓점과 간선 중점이 엄격히 볼록 위치에 있을 경우에, n-정점 그래프가 가질 수 있는 최대 간선 수를 정확히 규명한다(Gs_s).
• 약한 볼록성에 기반한 그래프 그림의 변형을 탐색하고 특성화하며, 이러한 클래스에 대한 날카운 상한을 확립한다.
• 그래프 그림 문제를 평면 점 집합의 믹스키 스트럼에서 큰 볼록 부분집합을 찾는 문제와 연결한다. 특히 볼록 입력 집합에 대해 고려한다.

제안 방법

• 꼭짓점 집합과 중점 집합의 볼록성 유형(엄격, 약한, 임의)에 따라 그래프 그림 클래스 Gj_i를 도입하고 분류한다.
• 기하학적 편향 기법을 사용하여 약한 볼록 중점 집합을 엄격히 볼록한 것으로 변형함으로써, Gs_s = Gs_w임을 증명한다.
• 아핀 변환과 볼록 껍질 분석을 활용하여, K4−e가 Gw_s에 속하지만 Gs_s에 속하지 않음을 증명함으로써 엄격한 포함 관계를 확립한다.
• 정점의 가시성과 추가된 정점으로의 간선의 가시성을 분석함으로써, Gw_s와 Gs_s의 간선 수를 구속하는 조합적 및 기하학적 추론을 수행한다.
• 간선 중점을 A+A의 점과 연결함으로써 그래프 그림 문제를 믹스키 스트럼 설정으로 변환하고, 정점-중점 대응을 고려한 조정된 계수 egj_i(n)를 정의한다.
• 0, 1, 또는 2개의 인cidnet 간선을 보는 정점에 대한 가시성 제약과 수식 불등식을 활용하여, 간선 수와 추가 가능한 정점 수의 상한을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Halman, Onn, Rothblum이 추측한 바와 같이, 강한 볼록 차원 2인 모든 그래프는 평면적일까?
• RQ2 꼭짓점과 간선 중점이 엄격히 볼록 위치에 있을 경우, n-정점 그래프가 가질 수 있는 최대 간선 수는 얼마인가?
• RQ3 Gs_s 클래스는 잎을 추가하는 것에 대해 닫혀 있는가? 그리고 Gs_s 또는 Gw_s에 속하기 위한 구조적 성질은 무엇인가?
• RQ4 볼록 평면 n점 집합 A에 대해 믹스키 스트럼 A+A에서 가능한 가장 큰 볼록 부분집합의 크기는 얼마인가?
• RQ5 꼭짓점과 중점에 대한 약한 볼록성 제약은 이러한 그래프의 최대 간선 수에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• Gs_s 클래스는 비평면 그래프를 포함한다. 이는 모든 강한 볼록 차원 2 그래프가 평면적이라는 추측을 반증한다.
• 강한 볼록 차원 2 그래프의 최대 간선 수는 2n−3 이하이며, 이는 이전에 추측된 3n−6 상한보다 향상된 결과이다.
• Gw_s 클래스는 n≥3일 때 정확히 2n−3개의 간선을 가지며, 이 상한은 날카롭다. 이는 볼록 다각형 위에 그린 순환 그래프 Cn이 이를 실현함으로써 입증된다.
• 볼록 평면 n점 집합 A에 대해 A+A의 가장 큰 약한 볼록 부분집합의 크기는 정확히 2n이며, 이는 볼록 다각형 그림을 통해 달성된다.
• 볼록 평면 n점 집합 A에 대해 A+A의 가장 큰 엄격히 볼록한 부분집합의 크기는 32n에서 2n−2 사이이며, 하한은 독립 집합의 정점과 모든 중점으로 달성된다.
• Gs_s 클래스는 잎을 추가하는 것에 대해 닫혀 있지 않으며, 반례를 통해 이를 보여주지만, 간선을 분할(subdividing)하면 Gs_s에 속하는 그래프를 만들 수 있다.