[논문 리뷰] DREAM, a program for arbitrary-precision computation of dimensional recurrence relations solutions, and its applications

Roman N. Lee, Kirill T. Mingulov|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 14.

Particle physics theoretical and experimental studies참고 문헌 18인용 수 7

한 줄 요약

DREAM은 다중 루프 피카르 적분의 임의 정밀도 계산을 위해 차원 재귀 및 해석성(DRA) 방법을 사용하는 Mathematica 패키지로, 비삼각형 형태의 차원 재귀 관계 시스템의 해를 자동으로 구한다. 이는 인수 분리된 합성항을 가진 중첩 합의 고정밀도 평가를 가능하게 하며, 동차 해를 정의하는 도구를 제공하여, 네 광자로 붕괴하는 파라-양전자쌍의 붕괴 너비에 대한 최초의 해석적 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We present the Mathematica package DREAM for arbitrarily high precision computation of multiloop integrals within the DRA (Dimensional Recurrence & Analyticity) method as solutions of dimensional recurrence relations. Starting from these relations, the package automatically constructs the inhomogeneous solutions and reduces the manual efforts to setting proper homogeneous solutions. DREAM also provides means to define the homogeneous solutions of the higher-order recurrence relations (and can construct those of the first-order recurrence relations automatically). Therefore, this package can be used to apply the DRA method to the topologies with sectors having more than one master integral. Two nontrivial examples are presented: four-loop fully massive tadpole diagrams of cat-eye topology and three-loop cut diagrams which are necessary for computation of the width of the para-positronium decay into four photons. The analytical form of this width is obtained here for the first time to the best of our knowledge.

연구 동기 및 목표

• 다중 루프 파인만 적분 계산에서 발생하는 비삼각형 형태의 차원 재귀 관계 시스템의 해를 자동으로 해결하는 것.
• DRA 방법 내에서 비동차 및 동차 해를 구성하는 데 필요한 수작업을 줄이는 것.
• 수렴 가속 기법을 사용하여 인수 분리된 합성항을 가진 중첩 합의 고정밀도 수치 평가를 가능하게 하는 것.
• 한 섹터당 다수의 마스터 적분을 포함하는 위상 구조로 DRA 방법의 적용 범위를 확장하는 것.
• 고에너지 물리학 공동체가 복잡한 다중 루프 진폭을 해석적으로 계산할 수 있도록 사용자 友好的 도구를 제공하는 것.

제안 방법

• 패키지는 DRA 프레임워크 내에서 재귀 관계 행렬로부터 비동차 해를 자동으로 구성한다.
• 수렴 가속 기법을 적용하여 인수 분리된 합성항을 가진 중첩 합을 효율적으로 계산한다.
• 고차수 재귀 관계에 대해 사용자 정의 동차 해를 지원하며, 일차 경우는 자동으로 구성된다.
• 합성항의 인수 분리 구조를 활용하여 다중 중첩 합의 다항식 시간 평가를 가능하게 한다.
• 정수 관계 탐지에 적합한 정밀도로 결과를 계산하기 위해 PSLQ 알고리즘과 통합한다.
• 삼각형 및 비삼각형 재귀 행렬을 모두 처리하여 DRA 방법을 스칼라 합 시스템을 초월해 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비삼각형 재귀 행렬을 가진 다중 루프 적분에 대해 DRA 방법을 체계적으로 적용하는 방법은 무엇인가?
• RQ2 이러한 시스템에서 발생하는 인수 분리된 합성항을 가진 중첩 합의 고정밀도 값을 계산하는 가장 효율적인 방법은 무엇인가?
• RQ3 고차수 재귀 관계의 동차 해를 체계적으로 구성하고 해법 프레임워크에 통합하는 방법은 무엇인가?
• RQ4 DRA 방법을 자동화하여 다중 루프 계산에서 수작업 간섭을 줄일 수 있는가?
• RQ5 이전에는 해결이 어려웠던 다이어그램, 예를 들어 네 루프 완전히 질량이 있는 테드포틀과 세 루프 컷 다이어그램에 대해 어떤 해석적 결과를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• DREAM 패키지를 사용하여 네 광자로 붕괴하는 파라-양전자쌍의 붕괴 너비에 대한 해석적 형태가 최초로 계산되었다.
• 패키지는 고정밀도로 고체 눈 모양 위상의 네 루프 완전 질량 테드포틀 다이어그램을 성공적으로 계산하였다.
• d=4-2ε 및 d=3-2ε에서 마스터 적분 비율 T4, T5, T9, T10는 각각 ε² 및 ε³ 차수까지 해석적으로 계산되었다.
• d=4-2ε에서 T4 및 T5의 결과는 이전에 발표된 수치적 및 해석적 자료와 완벽하게 일치한다.
• SR2a = ∑₁/(6n+1)² 및 SR3b = ∑∑ 1/(6n+1)²(1/(6k+1) - 1/(6k+3))와 같은 특수 상수를 고정밀도로 계산할 수 있다.
• 수렴 가속 및 임의 정밀도 산술의 사용으로 PSLQ 기반 정수 관계 탐지에 적합한 결과가 보장된다.