[논문 리뷰] Drift and entropy growth for random walks on groups

Anna Erschler-Dyubina|ArXiv.org|2001. 01. 09.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 임의의 $ k \geq 1 $ 에 대해 $ L(n) $ 이 점 渐진적으로 $ n / \underbrace{\ln(\ln(\cdots \ln(n)\cdots))}_{k} $ 가 될 수 있고, 엔트로피 $ H(n) $ 도 동일한 방식으로 증가할 수 있음을 보여주는 군을 구성한다. 이는 군에서의 랜덤 워크에 대해 드리프트와 엔트로피의 무한히 많은 서로 다른 비선형 증가율이 존재함을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper we consider finitary symmetric random walks on groups. We construct new possible asymptotics for the drift. We show that the drift can be very close to linear ant yet sublinear. We also give estimates for entropy growth of these random walks. In particular, we prove that there exist infinitely many asymptotics of entropy.

연구 동기 및 목표

• 유한 생성 군에서 대칭 랜덤 워크의 드리프트 $ L(n) $ 이 어떤 다항식보다 느리게 증가하지만 $ \sqrt{n} $ 보다 빠르게 증가하는 군을 구성하는 것. 특히, 임의의 $ k \geq 1 $ 에 대해 $ n / \underbrace{\ln(\ln(\cdots \ln(n)\cdots))}_{k} $ 의 점 渐진적 행동을 달성하는 것.
• 그러한 랜덤 워크에 대한 대응 엔트로피 증가율 $ H(n) $ 을 분석하고, 동일한 비선형 점 渐진적 행동을 달성할 수 있음을 보여주는 것.
• 유한 생성 군에서의 랜덤 워크에 대해 드리프트와 엔트로피의 점 무한히 많은 서로 다른 점 渐진적 증가율이 존재함을 보여주는 것.
• 기존의 선형과 $ \sqrt{n} $ 유형의 드리프트 증가율 사이의 이분법을, 반복 로그의 반복적 적용을 통해 중간 증가율을 구성함으로써 확장하는 것.
• 어휘 길이의 두 번째 모멘트와 군 내 공의 부피 증가율을 사용하여 엔트로피에 대한 날카운 경계를 설정하는 것.

제안 방법

• 자기 반복적인 구조를 통해 랜덤 워크의 증가율을 제어하기 위해 $ \mathbb{Z} $ 의 반복 와이어드 프로덕트를 사용하여 군을 구성하는 것.
• 2차원 단순 랜덤 워크의 결과를 적용하여 국소 시간과 범위를 추정하며, $ \mathbb{E}[R^{(n)}] \asymp n / \ln n $ 이라는 사실을 활용하는 것.
• 큰 $ x $ 에 대해 $ x / (\ln^{(k)} x)^\alpha $ 형식의 함수의 볼록성(볼록성의 반대)을 보여주는 핵심 보조정리(보조보조정리)를 사용하여 모멘트 추정을 가능하게 하는 것.
• 2차원 워크의 국소 시간 $ b_z^{(n)} $ 에 볼록 함수를 적용하여 $ \mathbb{E}[\sum_z f(b_z^{(n)})] $ 를 유계화하고, 이로부터 드리프트 추정을 이끌어내는 것.
• 엔트로피 추정을 위해 부등식 $ H(n) \geq C \cdot \mathbb{E}[l^2(g)] / n - \ln n $ 을 적용하여 엔트로피를 어휘 길이의 두 번째 모멘트와 연결하는 것.
• 공의 부피 증가율 $ v(n) $ 을 사용하여 $ H(n) \leq \ln v(n) $ 를 유계화하고, 이와 드리프트 추정을 조합하여 엔트로피 점 渐진적 행동을 유도하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 생성 군에서 대칭 랜덤 워크의 드리프트 $ L(n) $ 이 $ \sqrt{n} $ 과 선형 사이의 속도로 증가할 수 있으며, 만약 그렇다면 가능한 중간 증가율은 무엇인가?
• RQ2 그러한 랜덤 워크의 엔트로피 $ H(n) $ 이 비선형적으로 증가하지만 선형에 매우 가까운 증가율을 보일 수 있으며, 가능한 증가율은 무엇인가?
• RQ3 모든 $ k \geq 1 $ 에 대해 드리프트와 엔트로피가 $ n / \underbrace{\ln(\ln(\cdots \ln(n)\cdots))}_{k} $ 로 증가하는 군이 존재하며, 이러한 증가율이 서로 다른 점 渐진적 행동을 유도하는가?
• RQ4 어휘 길이의 두 번째 모멘트의 증가율과 랜덤 워크의 엔트로피 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 반복 로그 함수의 볼록성 성질을 사용하여 2차원 랜덤 워크의 국소 시간 기능에 대한 날카운 경계를 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 구성된 군에서 대칭 랜덤 워크의 드리프트 $ L(n) $ 은 임의의 고정된 $ k \geq 1 $ 에 대해 점 渐진적으로 $ n / \underbrace{\ln(\ln(\cdots \ln(n)\cdots))}_{k} $ 와 같아지며, 이는 새로운 중간 증가율 클래스를 보여준다.
• 동일한 랜덤 워크의 엔트로피 $ H(n) $ 도 점 渐진적으로 $ n / \underbrace{\ln(\ln(\cdots \ln(n)\cdots))}_{k} $ 와 동일하게 증가한다.
• 각 $ k \geq 1 $ 에 대해, $ H_{G_k}(n) \asymp n / \underbrace{\ln(\ln(\cdots \ln(n)\cdots))}_{k} $ 를 만족하는 군과 대칭 랜덤 워크가 존재하며, 이는 무한히 많은 서로 다른 엔트로피 증가율을 보여준다.
• 어휘 길이의 두 번째 모멘트는 $ \mathbb{E}[l^2(g)] \asymp n \cdot H(n) $ 를 만족하며, 이는 엔트로피 증가율과 워크의 산산이 흩어지는 정도를 연결한다.
• 드리프트는 $ L(n) \leq K \sqrt{n(\ln v(n) + \ln n)} $ 를 만족하며, 구성된 예제에서는 $ v(n) \asymp n \cdot \underbrace{\ln(\ln(\cdots \ln(n)\cdots))}_{k} $ 를 만족하여 엔트로피 증가율과 일치한다.
• 이 구성은 큰 $ x $ 에서 $ x / (\ln^{(k)} x)^\alpha $ 의 볼록성(볼록성의 반대)에 기반하며, 이는 도함수 분석과 반복 로그 구조의 분석을 통해 증명된다.