[논문 리뷰] Drift parameter estimation for nonlinear stochastic differential equations driven by fractional Brownian motion

Yaozhong Hu, David Nualart외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 02.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 7인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 허스트 매개수 $ H \in (\frac{1}{4}, 1) $를 가진 분수 Browian 운동에 의해 구동되는 비선형 확률미분방정식에서의 드리프트 계수에 대한 최소제곱추정량(LSE)의 강한 일致성을 확립한다. 일방적인 분산성 리프시츠 조건과 연속 관측 하에서, LSE는 시간 $ T \to \infty $일 때 거의확실하게 참값으로 수렴하며, 이는 에르고딕성과 마일리빈 미분법을 활용한 스토크홀름 적분에 대한 새로운 최대부등식을 통해 이루어진다.

ABSTRACT

We derive the strong consistency of the least squares estimator for the drift coefficient of a fractional stochastic differential system. The drift coeffcient is one-sided dissipative Lipschitz and the driving noise is additive and fractional with Hurst parameter $H \in (\frac{1}{4}, 1)$. We assume that continuous observation is possible. The main tools are ergodic theorem and Malliavin calculus. As a by-product, we derive a maximum inequality for Skorohod integrals, which plays an important role to obtain the strong consistency of the least squares estimator.

연구 동기 및 목표

• 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 비선형 SDE에서 드리프트 계수에 대한 최소제곱추정량(LSE)의 거의확실 수렴을 확립하는 것.
• 장기적 상관관계를 가진 비마르코프, 비세미마르팅글의 설정으로 파rameter 추정 이론을 확장하는 것.
• 스코로호드 적분에 대한 최대부등식을 개발하여 핵심 기술적 도구로 활용하는 것.
• 드리프트 계수에 대한 연속성 조건과 약한 정규성 조건 하에서 관측이 연속일 경우의 일致성 보장

제안 방법

• 통합 제곱 예측 오차 최소화를 통한 LSE 유도로, 경험적 피셔 정보행렬의 역행렬을 포함하는 닫힌 형태의 표현식을 도출한다.
• 분수 브라운 운동의 비세미마르팅글 성격을 다루기 위해 스토크홀름 적분 표현을 사용한다.
• 해의 과정의 불변 측도에 대한 에르고딕 정리를 적용하여 장기 평균화를 보장한다.
• 마일리빈 미분법을 활용하여 모멘트 추정과 스토크홀름 적분에 대한 새로운 최대부등식을 유도한다.
• 경로 유일성과 에르고딕성을 보장하기 위해 드리프트 함수에 일방적인 분산성 리프시츠 조건을 도입한다.
• 해의 해와 그 마일리빈 도함수의 모멘트 바OUNDS를 $ \mathcal{C}^{1}_{p} $ 또는 $ \mathcal{C}^{2}_{p} $ 정규성에 따라 $ H $에 따라 결정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 관측 시간 $ T \to \infty $일 때, 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 비선형 SDE에서 드리프트 계수에 대한 최소제곱추정량(LSE)이 거의확실하게 수렴하는가?
• RQ2 연속 관측과 드리프트 함수에 대한 일방적인 분산성 리프시츠 조건 하에서 LSE의 강한 일치성을 확보할 수 있는가?
• RQ3 분수 브라운 운동에 대해 $ H \in (\frac{1}{4},1) $인 경우 LSE 표현식의 확률적 적분 항을 제어하기 위해 필요한 모멘트 및 최대부등식은 무엇인가?
• RQ4 드리프트 계수의 정규성($ \mathcal{C}^{1}_{p} $ 또는 $ \mathcal{C}^{2}_{p} $)이 $ H $에 따라 증명에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 LSE가 컴act 매개수 집합 위에서 균일하게 일치하기 위한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 가설 1.1과 $ f $의 적절한 정규성 하에서, 최소제곱추정량 $ \hat{\theta}_T $는 $ T \to \infty $일 때 거의확실하게 참값 $ \theta $로 수렴한다.
• 증명은 마일리빈 미분법을 활용한 새로운 스토크홀름 적분에 대한 최대부등식에 기반하며, 이는 모멘트 제어에 필수적이다.
• $ H \in (\frac{1}{2},1) $인 경우 드리프트 함수 $ f $는 $ \mathcal{C}^{1}_{p}(\mathbb{R}^m) $에 속해야 하고, $ H \in (\frac{1}{4},\frac{1}{2}) $인 경우 $ \mathcal{C}^{2}_{p}(\mathbb{R}^m) $에 속해야 한다.
• 불변 측도 $ \nu $는 $ \mathbb{P}(\det(f^{tr}f)(\overline{X}) > 0) > 0 $를 만족하여, 법적으로 피셔 정보행렬이 비특이함을 보장한다.
• $ T^{-1} \int_0^T f^{tr}(X_t) dX_t $가 보렐-칸탈리와 모멘트 추정을 통해 $ \theta $로 수렴함을 증명함으로써 $ \hat{\theta}_T \to \theta $ a.s.를 이끌어낸다.
• $ \theta $가 컴팩트 집합에 속하고 $ (f^{tr}f)^{-1} $가 균일하게 유계이면, 균일한 강한 일치성이 성립한다.