[논문 리뷰] Drinfeld centers of fusion categories arising from generalized Haagerup subfactors

Pinhas Grossman, Masaki Izumi|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 30.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 25인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 하이거프 상하위군에서 유래한 융합 분할의 드린펠트 중심의 모듈라 데이터를 계산하며, 특히 $4442$ 상하위군과 관련된 분할에 중점을 둔다. 쿤츠 대수 프레임워크와 튜브 대수 기법을 사용하여 $S$ 및 $T$ 행렬에 대한 명시적 공식을 유도하고, 드린펠트 중심 내 간단한 대상의 전부를 규명하며, 이차 모듈라 분할의 새로운 무한한 가족 존재에 대한 증거를 제공한다.

ABSTRACT

We consider generalized Haagerup categories such that $1 \oplus X$ admits a $Q$-system for every non-invertible simple object $X$. We show that in such a category, the group of order two invertible objects has size at most four. We describe the simple objects of the Drinfeld center and give partial formulas for the modular data. We compute the remaining corner of the modular data for several examples and make conjectures about the general case. We also consider several types of equivariantizations and de-equivariantizations of generalized Haagerup categories and describe their Drinfeld centers. In particular, we compute the modular data for the Drinfeld centers of a number of examples of fusion categories arising in the classification of small-index subfactors: the Asaeda-Haagerup subfactor; the $3^{\Z_4} $ and $3^{\Z_2 imes \Z_2} $ subfactors; the $2D2$ subfactor; and the $4442$ subfactor. The results suggest the possibility of several new infinite families of quadratic categories. A description and generalization of the modular data associated to these families in terms of pairs of metric groups is taken up in the accompanying paper \cite{GI19_2}.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 하이거프 상하위군에서 유래한 융합 분할의 드린펠트 중심의 구조를 규명하기 위해.
• 드린펠트 중심의 $4442$ 상하위군 및 관련 분할에 대한 모듈라 데이터(S 및 T 행렬)를 계산하기 위해.
• 1\oplus X가 $Q$-시스템을 갖는 일반화된 하이거프 분할에서의 가역적 대상의 존재 및 분류를 조사하기 위해.
• 일반화된 하이거프 분할과 그 드린펠트 중심의 등변화 및 등변화 해제를 탐색하기 위해.
• 명시적 모듈라 데이터 계산을 통해 새로운 이차 모듈라 텐서 분할의 무한한 가족 존재에 대한 증거를 제공하기 위해.

제안 방법

• 일반화된 하이거프 분할을 $\mathcal{O}_{|G|+1}$의 내부자기변환을 통해 실현하기 위해 쿤츠 $C^*$-대수 프레임워크를 사용한다.
• 튜브 대수 형식을 적용하여 반반접합을 계산하고 드린펠트 중심 내 최소 중심 프로젝션을 규명한다.
• 반반접합의 기저를 분류하고 $T$-고유값을 결정하기 위해 $\mathbf{t}$-연산자의 고유값 분석을 시행한다.
• 베르린데 공식과 단순 대상의 블록별 인덱싱을 사용하여 $S$-행렬에 대한 명시적 공식을 도출한다.
• $1\oplus X$에 대한 $Q$-시스템 조건을 사용하여 일반화된 하이거프 상하위군을 정의하고 단위성을 확보한다.
• 등변화 및 등변화 해제 기법을 적용하여 서로 다른 융합 분할과 그 중심들 간의 관계를 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1\oplus X가 $Q$-시스템을 갖는 일반화된 하이거프 상하위군에서 유래한 융합 분할의 드린펠트 중심의 구조는 무엇인가?
• RQ2 $4442$ 상하위군 및 관련 융합 분할의 드린펠트 중심에 대한 모듈라 데이터(S 및 T 행렬)는 무엇인가?
• RQ3 1\oplus X가 $Q$-시스템을 갖는 일반화된 하이거프 분할에서 순서 2의 가역적 대상은 최대 몇 개인가?
• RQ4 동반 논문 [GI19]에서 제안한 바와 같이, 이러한 중심의 모듈라 데이터는 쌍의 계량군으로 기술될 수 있는가?
• RQ5 계산된 모듈라 데이터는 새로운 이차 모듈라 텐서 분할의 무한한 가족 존재에 대해 어떤 함의를 지닌다?

주요 결과

• 1\oplus X가 $Q$-시스템을 갖는 일반화된 하이거프 분할에서 순서 2의 가역적 대상의 집합 크기는 최대 4이다.
• $4442$ 융합 분할의 드린펠트 중심은 48개의 단순 대상으로 이루어져 있으며, 크기가 6, 2, 6, 2, 6, 2, 12, 12인 여덟 개의 블록으로 묶여 있다.
• $4442$ 상하위군의 드린펠트 중심에 대한 $S$-행렬은 명시적으로 계산되었으며, 그 결과는 그림 7에 표시되어 있으며, $\omega$, $\zeta_5$, $\pi/5$의 삼각함수 값이 포함되어 있다.
• $T$-행렬 고유값은 $1, -1, \zeta_5^\varepsilon, \omega, \omega\zeta_5^{\varepsilon_1}$로 결정되었으며, $\omega$는 단위근의 세제곱근이다.
• 모듈라 데이터 계산은 새로운 이차 모듈라 텐서 분할의 무한한 가족 존재에 대한 강력한 수치적 증거를 제공한다.
• 아사다-하이거프, $3^{\mathbb{Z}_4}$, $3^{\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2}$, $2D2$ 상하위군의 결과는 일반화된 하이거프 분할과 그 중심에 대한 통합된 프레임워크와 일치한다.