[논문 리뷰] Drinfeld modular forms of arbitrary rank, Part II: Comparison with Algebraic Theory

Dirk Basson, Florian Breuer외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 31.

Rings, Modules, and Algebras인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 Drinfeld 모듈러 공간의 Satake 컴actsification을 통해 임의의 랭크에 대한 해석적 Drinfeld 모듈러 형식과 대수적 모듈러 형식 사이의 이somorphism을 수립하며, 임의의 산술 콘그루엔스 부분군과 정수 계수에 대해 모듈러 형식의 공간이 유한 차원임을 증명한다. 이 결과는 양성 특성에서의 해석적 이론과 대수적 이론을 통합한다.

ABSTRACT

This is the second of a series of articles providing a foundation for the theory of Drinfeld modular forms of arbitrary rank. In the present part, we compare the analytic theory with the algebraic one that was begun in a paper of the third author. For any arithmetic congruence subgroup and any integral weight we establish an isomorphism between the space of analytic modular forms with the space of algebraic modular forms defined in terms of the Satake compactification. From this we deduce the important result that this space is finite dimensional.

연구 동기 및 목표

• 임의의 랭크에서 해석적 Drinfeld 모듈러 형식과 대수적 모듈러 형식 사이의 정확한 대응 관계를 수립하기 위해.
• Drinfeld 모듈러 형식 이론에서 해석적 구성과 대수기하학 사이의 기본적 격차를 해결하기 위해.
• Satake 컴actsification을 사용하여 고정된 수준과 계수에 대한 모듈러 형식의 공간이 유한 차원임을 증명하기 위해.
• Goss의 박사학위 논문에서의 결과를 랭크 2 이상으로 일반화하여 이론을 확장하기 위해.
• 대수적 모듈러 공간의 맥락에서 해석적 모듈러 형식에 대한 헤케 연산자를 정의하고 연구하기 위해.

제안 방법

• 유리형 해석적 Drinfeld 주기 도메인 Ω^r 위에서 Drinfeld 모듈러의 보편 가족을 구성하고, 경계 성분을 포함하는 더 큰 도메인 위에서 일반화된 Drinfeld 모듈러로 확장하기.
• 모듈러 공간 M의 Satake 컴actsification을 사용하여 선다발 L을 컴actsified 공간 M̄로 확장함으로써 해석적 모듈러 형식을 대수화하기.
• 무한대에서의 해석적 성질 조건을 이용하여, 무한대에서의 해석적 Drinfeld 모듈러 형식을 컴actsified 모듈러 공간 M̄ 위에서 L^k의 전역 단면과 동일시하기.
• M̄의 사영성과 L^k의 협응성 조건을 이용하여, 모듈러 형식의 공간이 H⁰(M̄, L^k)과 이somorphic임을 증명하기.
• GL_r(F) 내 이중 코셋을 통해 해석적 모듈러 형식에 대한 헤케 연산자를 정의하고, 이들이 대수적 헤케 작용과 호환됨을 보이기.
• 대수적 헤케 연산자 T_h가 모듈러 공간 성분의 정의 체 확장 시, 해석적 헤케 연산자 T_δ의 합과 체 확장에 대한 추적 사상 후에 작용함을 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 임의의 랭크에 대한 해석적 Drinfeld 모듈러 형식을 대수적으로 특징지을 수 있는가?
• RQ2 해석적 형식 공간과 Satake 컴actsification 위의 전역 단면 공간 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 고정된 수준과 계수에 대해 Drinfeld 모듈러 형식의 공간이 고차원 랭크에서도 여전히 유한 차원일까?
• RQ4 해석적 측면의 헤케 연산자와 모듈러 공간 위의 대수적 대응 연산자 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 Satake 컴actsification을 사용하여 Drinfeld 모듈러 형식의 무한대에서의 해석적 성질 조건을 대수화할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 산술 콘그루엔스 부분군 Γ에 대해, 무한대에서의 해석적 Drinfeld 모듈러 형식의 공간은 M̄의 Satake 컴actsification을 통해 정의된 전역 단면 H⁰(M̄, L^k)과 이somorphic하다.
• M̄의 사영성과 L^k의 협응성 조건을 통해 고정된 수준과 계수에 대한 모듈러 형식의 공간이 유한 차원임을 유도할 수 있다.
• 고정된 Γ에 대해 모듈러 형식의 그레디드 링은 C_∞-대수로서 유한 생성되는 정규 정수환이다.
• GL_r(F) 내 이중 코셋을 통한 해석적 모듈러 형식에 대한 헤케 연산자는 잘 정의되며, 체 확장에 대한 추적 사상 이후 대수적 헤케 작용과 일치한다.
• 모듈러 공간 성분의 정의 체가 확장될 경우, 대수적 헤케 연산자 T_h는 해석적 헤케 연산자 T_δ의 합과 체 확장에 대한 추적 사상 후에 작용한다.
• 이론은 해석적 접근과 대수적 접근을 통합하며, Goss의 랭크 2 결과를 임의의 랭크 r ≥ 2로 일반화한다.