[논문 리뷰] Drinfeld's Lemma for Perfectoid Spaces and Overconvergence of Multivariate $(\phi, \Gamma)$-Modules

Annie Carter, Kiran S. Kedlaya외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 12.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 26인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 p진 수체의 절대 갈루아 군들의 곱에 대한 연속적인 p진 갈루아 표현을 다루는 다변수 일반화된 Fontaine의 (ϕ, Γ)-모듈 이론을 정립한다. 이는 펄렉티브 스페이스와 Drinfeld의 렘마의 새로운 형태를 사용하며, 이러한 표현들과 다변수 멱급수환 위의 프로젝티브 에테일 (ϕ∆, Γ∆)-모듈 사이의 동치를 구축한다. 또한 갈루아 코hom로지가 다변수 Herr 복합체의 코호몰로지와 동형임을 증명하며, 펄렉티브 체 위에서의 Shapiro의 렘마와 기저 변경을 통해 고차원 랭크 설정으로 고전 결과를 확장한다.

ABSTRACT

Let $p$ be a prime, let $K$ be a finite extension of $\mathbb{Q}_p$, and let $n$ be a positive integer. We construct equivalences of categories between continuous $p$-adic representations of the $n$-fold product of the absolute Galois group $G_K$ and $(φ, Γ)$-modules over one of several rings of $n$-variable power series. The case $n=1$ recovers the original construction of Fontaine and the subsequent refinement by Cherbonnier--Colmez; for general $n$, the case $K = \mathbb{Q}_p$ had been previously treated by the third author. To handle general $K$ uniformly, we use a form of Drinfeld's lemma on profinite fundamental groups of products of spaces in characteristic $p$, but for perfectoid spaces instead of schemes. We also construct the multivariate analogue of the Herr complex to compute Galois cohomology; the case $K = \mathbb{Q}_p$ had been previously treated by Pal and the third author, and we reduce to this case using a form of Shapiro's lemma.

연구 동기 및 목표

• p진 수체의 갈루아 군들의 곱에 대한 다변수 (ϕ, Γ)-모듈 이론를 체계적으로 개발하여 Fontaine의 고전 이론을 일반화한다.
• GK,∆에 대한 연속적인 p진 표현의 범주와 다변수 환들, 예를 들어 OE∆(K), eOE∆(K), O†E∆(K), eO†E∆(K) 위의 프로젝티브 에테일 (ϕ∆, Γ∆)-모듈의 범주 사이의 동치를 확립한다.
• 갈루아 코호몰로지를 계산하기 위한 다변수 Herr 복합체의 초월적 형태를 구축하고, 기저 변경과 Shapiro의 렘마를 통해 갈루아 코호몰로지와의 동형을 증명한다.
• 이론을 Qp의 서로 다른 유한 확장의 갈루아 군들의 곱으로 확장하고, 내림내림과 환론적 기저 변경을 통해 K=Qp의 경우와 통합한다.

제안 방법

• 펄렉티브 스페이스에 대한 Drinfeld의 렘마의 새로운 형태를 사용하여, 특성 p에서의 펄렉티브 스페이스 곱의 에테일 기본군을 특성 0에서의 그것과 연결함으로써 고전적인 체의 노름 이sov모르피즘을 일반화한다.
• 각 인자에 대해 프로베니우스 ϕα와 갈루아 군 ΓK,α의 작용이 서로 교환되는 다변수 멱급수환(예: OE∆(K))을 구성한다.
• ϕα∗가 동형사상임을 조건으로 하는, 유한 자유 모듈 위에 서로 교환되는 반선형 ϕα 및 ΓK,α 작용을 갖는 프로젝티브 에테일 (ϕ∆, Γ∆)-모듈을 정의한다.
• 연속적인 (ϕ∆, Γ∆)-코체로 구성된 복합체를 통해 다변수 Herr 복합체를 도입하여 갈루아 코호몰로지를 계산한다.
• 유도된 모듈에 대한 Shapiro의 렘마를 적용하여 일반적인 K에 대한 코호몰로지 계산을 K=Qp의 경우로 줄이며, 군환 확장의 충실한 평탄성( faithfully flat )을 이용한다.
• Zp[ΓK,∆] → Zp[ΓQp,∆]에 沿해 기저 변경을 사용하여, 최대 순환 확장에서의 코호몰로지 동형을 임의의 K로 내림내림한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일차원 갈루아 표현에 대한 고전적인 (ϕ, Γ)-모듈 동치는 p진 수체의 갈루아 군들의 곱으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 원래는 양의 특성에서의 스킴에 대해 정의된 Drinfeld의 렘마는 펄렉티브 스페이스의 설정으로 어떻게 확장되는가?
• RQ3 갈루아 코호몰로지를 위한 Herr 복합체는 다변수 (ϕ, Γ)-모듈로 확장될 수 있으며, 갈루아 코호몰로지와 동형인가?
• RQ4 기저 체가 Qp가 아닐 경우, (ϕ∆, Γ∆)-모듈의 코호몰로지는 기저 변경과 유도에 대해 어떻게 행동하는가?
• RQ5 ϕα가 단사임을 조건으로 하는 eOE∆(K) 및 eO†E∆(K)와 같은 환 위의 표현으로 이 이론을 확장할 수 있는가?

주요 결과

• GK,∆ 위의 유한 자유 Zp-모듈 위의 연속 표현의 범주는 OE∆(K), eOE∆(K), O†E∆(K), eO†E∆(K) 위의 프로젝티브 에테일 (ϕ∆, Γ∆)-모듈의 범주와 자연스럽게 동치이다.
• 유한 차원 Qp-벡터 공간 위의 표현에 대해서는, E∆(K), eE∆(K), E†∆(K), eE†∆(K) 위에서 동치가 성립한다.
• 갈루아 코호몰로지 Hi(GK,∆, ·)는 d = |∆|만큼 이동된 다변수 Herr 복합체의 코호몰로지 hi−dΨ•(D(·))와 동형이다.
• 갈루아 코호몰로지와 (ϕ∆, Γ∆)-코호몰로지 사이의 동형은 Zp[ΓK,∆] → Zp[ΓQp,∆]의 확장의 충실한 평탄성에 의해 K=Qp의 경우에서 유도된다.
• 코호몰로지 동형은 Zp-표현과 Qp-표현 모두에 대해 성립하며, 기저 변경을 통해 O†E∆(K) 및 E†∆(K)와 같은 초수렴 환으로까지 확장된다.
• 결과는 서로 다른 Qp의 유한 확장의 갈루아 군들의 곱으로까지 확장되며, Shapiro의 렘마와 유도를 통해 유사한 동치와 코호몰로지 동형이 확립된다.