[논문 리뷰] Dual Cheeger Constants, Signless 1-Laplacians and Maxcut

Sihong Shao, Chuan Yang외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 02.

Graph theory and applications참고 문헌 20인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 그래프 위의 부호 없는 1라플라스 연산자와 그 비선형 스펙트럼 이론을 도입하며, 이중 허지어 상수 $ h^+ $ 가 부호 없는 1라플라스 연산자의 첫 번째 고유값 $ \mu_1^+ $ 와 $ 1 - \mu_1^+ $ 로 표현됨을 증명한다. 이 작업은 쿠라우트 노달 도메인 정리의 확장과 이산 최적화와 연속 함수 최소화를 연결하는 집합-쌍 라보슈스 확장의 개발을 통해, maxcut 문제에서 재귀 스펙트럼 컷 알고리즘을 위한 효율적인 역거듭제곱 방법을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The first nontrivial lower bound of the worst-case approximation ratio for the maxcut problem was achieved via the dual Cheeger problem, whose optimal value is referred to the dual Cheeger constant $h^+$, and later improved through its modification $\widehat{h}^+$. However, the dual Cheeger problem and its modification themselves are relatively unexplored, especially lack of effective approximate algorithms. To this end, we first derive equivalent spectral formulations of $h^+$ and $\widehat{h}^+$ within the framework of the nonlinear spectral theory of signless 1-Laplacian, present their interactions with the Laplacian matrix and 1-Laplacian, and then use them to develop an inverse power algorithm that leverages the local linearity of the objective functions involved. We prove that the inverse power algorithm monotonically converges to a ternary-valued eigenvector, and provide the approximate values of $h^+$ and $\widehat{h}^+$ on G-set for the first time. The recursive spectral cut algorithm for the maxcut problem can be enhanced by integrating into the inverse power algorithms, leading to significantly improved approximate values on G-set. Finally, we show that the lower bound of the worst-case approximation ratio for the maxcut problem within the recursive spectral cut framework can not be improved beyond $0.769$.

연구 동기 및 목표

• 그래프 위의 부호 없는 1라플라스 연산자에 대한 비선형 스펙트럼 이론을 개발하여 고전적 1라플라스 연산자 이론과 유사하게 한다.
• 이중 허지어 상수 $ h^+ $ 와 부호 없는 1라플라스 연산자의 첫 번째 고유값 $ \mu_1^+ $ 간의 정확한 관계를 확립한다.
• 클래식한 쿠라우트 노달 도메인 정리를 부호 없는 1라플라스 연산자로 확장하며, 수정된 노달 도메인 정의를 사용한다.
• 이중 허지어 문제의 목적 함수를 포괄하는 집합-쌍 버전의 라보슈스 확장을 구성한다.
• h^+ 를 계산하기 위한 효율적인 역거듭제곱 방법을 가능하게 하여 maxcut 문제에 대한 실용적인 재귀 스펙트럼 컷 알고리즘을 지원한다.

제안 방법

• 단위 $ \ell^1 $-노름을 가진 그래프 함수 위에서 부호 없는 1라플라스 연산자 함수 $ I^+(\mathbf{x}) = \sum_{u \sim v} |x_u + x_v| $ 를 정의한다.
• $ \mu_1^+ = \inf_{\mathbf{x} \in X} I^+(\mathbf{x}) $ 를 증명하며, 여기서 $ X $ 는 단위 $ \ell^1 $-구면이며, $ \mu_1^+ = 0 $ 이 되는 것은 그래프가 이분 그래프일 때이고 그 때에만 성립함을 보인다.
• 이산 집합-쌍 함수에서 연속 함수로의 사상이 가능한 집합-쌍 라보슈스 확장을 구축하여, $ h^+ = 1 - \mu_1^+ $ 를 복원할 수 있도록 한다.
• 부분미분 해석을 통해 $ I^+(\mathbf{x}) $ 가 국소적으로 선형인 것을 보이며, 이는 $ \mu_1^+ $ 의 효율적 계산을 위한 역거듭제곱 방법을 가능하게 한다.
• 클래식한 쿠라우트 노달 도메인 정리를 부호 없는 1라플라스 연산자에 적용할 수 있도록 수정하여, 고유벡터의 부호 변화에 기반한 노달 도메인을 정의한다.
• 공역 공식과 그래프 변환 기법을 활용하여 $ I^+(\mathbf{x}) $ 의 하한을 유도함으로써, $ \inf I^+(\mathbf{x}) \geq 1 - h^+(G) $ 를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중 허지어 상수 $ h^+ $ 는 1라플라스 연산자와 유사한 비선형 스펙트럼 이론을 통해 정확히 특성화될 수 있는가?
• RQ2 첫 번째 고유값이 $ \mu_1^+ = 1 - h^+ $ 를 만족하는 스펙트럼 기능이 존재하는가?
• RQ3 라보슈스 확장은 이중 허지어 문제에서 나타나는 집합-쌍 함수를 다룰 수 있도록 일반화될 수 있는가?
• RQ4 부호 없는 1라플라스 연산자 함수의 국소적 선형성은 $ h^+ $ 를 효율적으로 계산할 수 있는 실용적인 역거듭제곱 방법을 가능하게 하는가?
• RQ5 수정된 노달 도메인 정의를 사용할 때 쿠라우트 노달 도메인 정리는 부호 없는 1라플라스 연산자로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 이중 허지어 상수 $ h^+ $ 는 $ h^+ = 1 - \mu_1^+ $ 를 만족하며, 여기서 $ \mu_1^+ $ 는 부호 없는 1라플라스 연산자의 첫 번째 고유값이다. 이는 이중 허지어 부등식을 등식으로 전환한다.
• 첫 번째 고유값 $ \mu_1^+ = 0 $ 이 되는 것은 그래프가 이분 그래프일 때이고 그 때에만 성립하며, 이는 이분 그래프의 스펙트럼적 특성화를 제공한다.
• 쿠라우트 노달 도메인 정리는 부호 없는 1라플라스 연산자로 확장되었으며, 고유벡터의 부호 구조에 기반한 노달 도메인으로 정의된다.
• 집합-쌍 버전의 라보슈스 확장이 구성되었으며, 이는 관계 $ h^+ = 1 - \mu_1^+ $ 의 정확한 복원을 가능하게 한다.
• 함수 $ I^+(\mathbf{x}) $ 는 임의의 방향에서 국소적으로 선형이므로, $ \mu_1^+ $ 와 따라서 $ h^+ $ 의 효율적 계산을 위한 역거듭제곱 방법이 가능해진다.
• 역거듭제곱 방법은 스펙트럼 컷 알고리즘의 비SDP 구현을 효율적으로 가능하게 하며, maxcut 문제에 대한 재귀 스펙트럼 컷 알고리즘에서 비용이 1/2를 초과함을 보장한다.