[논문 리뷰] Dual Cones and Mirror Symmetry for Generalized Calabi-Yau Manifolds

Victor V. Batyrev, Lev Borisov|ArXiv.org|1994. 02. 03.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 11인용 수 106

한 줄 요약

이 논문은 반사적 고렌스타인 콘을 도입하여, 토릭 기하학을 통해 차원이 $d + 2(r-1)$인 일반화된 칼라비-야우 다양체로 칼라비-야우 다양체의 미러 대칭을 일반화할 수 있는 조합론적 프레임워크를 제시한다. 이러한 콘의 쌍대성은 미러 대칭에 대응하며, 기존의 구성들을 통합하고 강성 있는 칼라비-야우 다양체의 미러에 대한 수학적 설명을 제공한다.

ABSTRACT

We introduce a special class of convex rational polyhedral cones which allows to construct generalized Calabi-Yau varieties of dimension $(d + 2(r-1))$, where $r$ is a positive integer and d is the dimension of critical string vacua with central chatge $c = 3d$. It is conjectured that the natural combinatorial duality satisfies by these cones corresponds to the mirror involution. Using the theory of toric varieties, we show that our conjecture includes as special cases all already known examples of mirror pairs proposed by physicists and agrees with previous conjectures of the authors concerning explicit constructions of mirror manifolds. In particular we obtain a mathematical framework which explains the construction of mirrors of rigid Calabi-Yau manifolds.

연구 동기 및 목표

• 표준 칼라비-야우 사례를 초월하여 일반화된 칼라비-야우 다양체에 대한 미러 대칭을 설명하는 수학적 프레임워크를 개발하는 것.
• 고렌스타인 콘을 사용하여 반사적 다면체의 조합론적 쌍대성을 고차원 일반화된 칼라비-야우 다양체로 확장하는 것.
• 강성 있는 칼라비-야우 다양체의 미러 대칭을 반사적 고렌스타인 콘의 쌍대성과 통합하는 것.
• 특히 숈임리그크 및 다른 이들의 구성들을 하나의 토릭 기하학적 형식론 안에서 통합하는 것.

제안 방법

• 레터스에 대한 자연스러운 쌍대성을 가지며, 관련 토릭 다양체가 고렌스타인 특이점을 가지며, 그의 $r$제곱 텐서의 힘은 정규화층과 동형이 되는 라티스 안의 유리 다면체 콘으로서 반사적 고렌스타인 콘을 정의한다.
• 이러한 콘의 쌍대성을 이용해 $N=2$ 초등온형 이론에서와 유사한 미러 변환을 정의한다.
• 토릭 파노 다양체 ${{\bf P}_\sigma}$ 위에서 $\mathcal{O}_{{\bf P}_\sigma}(1)$의 전역 절단의 영점으로 일반화된 칼라비-야우 다양체를 구성한다.
• 조합론적 감소 기법을 통해 고렌스타인 토릭 파노 다양체 안의 완전 교차를 고차원 토릭 다양체 안의 초평면으로 감소시킨다.
• 반사적 고렌스타인 콘과 토릭 다양체 안의 칼라비-야우 완전 교차를 정의하는 비어지 않은 분할 간의 대응 관계를 수립한다.
• 특히 $({\bf P}_\Delta)^d/G$의 몫 특이점 기하학을 이용해 쌍대성과 기하학적 몫 특이점의 성질을 활용해 호지 수와 코homological 불변량을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반사적 고렌스타인 콘의 쌍대성은 일반화된 칼라비-야우 다양체에서의 미러 대칭을 통합적인 프레임워크로 제공할 수 있는가?
• RQ2 이러한 콘의 쌍대성은 $N=2$ 초등온형 이론에서의 미러 변환과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 강성 있는 칼라비-야우 다양체의 미러를 이 콘의 쌍대성으로 설명할 수 있는가?
• RQ4 반사적 고렌스타인 콘의 쌍대성은 숈임리그크의 미러 쌍을 포함한 기존의 알려진 미러 쌍을 재현하는가?

주요 결과

• 반사적 고렌스타인 콘의 쌍대성은 $N=2$ 초등온형 이론에서의 미러 변환과 대응하며, 미러 대칭의 조합론적 실현을 제공한다.
• 이 구성은 차원 $d + 2(r-1)$인 일반화된 칼라비-야우 다양체를 $\mathcal{O}_{{\bf P}_\sigma}(1)$의 절단의 영점으로 생성하며, $r$제곱 텐서의 힘은 반정규화층과 동형이 된다.
• 차원 $d=3$일 경우, 이 구성은 $E_0 \times E_0 \times E_0$를 ${\bf Z}/3{\bf Z}$ 작용으로 몫한 것으로서 강성 있는 칼라비-야우 3차원 다양체 $Z'$를 생성하며, 그의 미러는 7차원 입체 초평면의 몫으로 나타난다.
• $({\bf P}_\Delta)^d/G$의 몫의 해소 $\hat{Z}$의 호지 수 $h^{1,1}$은 $\frac{d(3d-1)(3d-2)}{2}$로 계산되며, 이는 코homological 일致성을 확인한다.
• 반사적 고렌스타인 콘 간의 쌍대성은 토릭 다양체에서 칼라비-야우 완전 교차를 구성하는 데 쓰이는 비어지 않은 분할의 쌍대성과 일치한다.