[논문 리뷰] Dual control Monte Carlo method for tight bounds of value function under Heston stochastic volatility model

Jingtang Ma, Wenyuan Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 28.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 유틸리티 함수를 가진 헤스톤 확률적 변동성 모델에서 가치 함수의 날카운 둘레 하한 및 상한을 계산하기 위해 이중 제어 몽테카를로 방법을 제안한다. 특정 이중 제어 형태인 γₜ = c(t)√vₜ를 활용함으로써, 거듭제곱, 비-HARA, Yarri 유틸리티에 대해 닫힌 형태의 상한을 도출할 수 있으며, 비선형성에도 불구하고 작은 이중성 갭을 유지하면서 높은 정확도와 효율성을 달성한다.

ABSTRACT

The aim of this paper is to study the fast computation of the lower and upper bounds on the value function for utility maximization under the Heston stochastic volatility model with general utility functions. It is well known there is a closed form solution of the HJB equation for power utility due to its homothetic property. It is not possible to get closed form solution for general utilities and there is little literature on the numerical scheme to solve the HJB equation for the Heston model. In this paper we propose an efficient dual control Monte Carlo method for computing tight lower and upper bounds of the value function. We identify a particular form of the dual control which leads to the closed form upper bound for a class of utility functions, including power, non-HARA and Yarri utilities. Finally, we perform some numerical tests to see the efficiency, accuracy, and robustness of the method. The numerical results support strongly our proposed scheme.

연구 동기 및 목표

• 일반 유틸리티 함수를 가진 헤스톤 확률적 변동성 모델에서 고차원, 비선형 HJB 방정식을 효율적으로 해결할 수 있는 수치적 방법의 부족을 보완하기 위해.
• 닫힌 형태의 해가 존재하지 않을 경우, 신뢰할 수 있는 하한 및 상한을 계산하기 위한 계산 효율성이 높은 접근법을 개발하기 위해.
• 다양한 유틸리티 함수, 비특수형 HARA 및 Yarri 유틸리티를 포함한 광범위한 클래스에 대해 상한의 해석적 접근 가능성을 보장하는 특정 이중 제어 구조를 규명하기 위해.
• 다양한 유틸리티 유형과 파rameter 조합에 걸쳐 광범위한 수치 실험을 통해 제안된 방법의 강건성, 정확도 및 효율성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 약한 이중성 원리를 활용하여 이중 제어 문제를 통해 상한을 도출하고, 실현 가능한 원본 제어를 통해 하한을 도출함으로써 원본 가치 함수에 대한 날카운 둘레 하한 및 상한을 형성한다.
• 특정 이중 제어 형태인 γₜ = c(t)√vₜ (c(t)는 조각별로 일정한 함수)를 도입함으로써, 거듭제곱, 비-HARA, Yarri 유틸리티에 대해 닫힌 형태의 상한을 도출할 수 있다.
• 상한은 경로 수 10,000, 시간 단계 수 100을 사용한 몽테카를로 시뮬레이션으로 계산되며, 하한은 100,000개의 경로와 100개의 시간 단계를 사용한다.
• Yarri 유틸리티의 경우, 헤스톤 모델의 아핀 구조를 활용하여 상한 계산을 가속화하기 위해 푸리에余弦 방법이 적용된다.
• 이중 제어 파ram터 c에 대한 샘플링 전략으로 [−0.5, 0.5] 구간 내 균일 분포를 사용하여 강건성과 성능 최적화를 시험한다.
• 수치적 검증은 자산, 분산, 변동성의 변동성 등의 다양한 파ram터를 포함한 여러 예제에서 하한 및 상한을 비교하여 정확도와 수렴성을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 유틸리티 함수를 가진 헤스톤 모델에서 가치 함수의 날카운 둘레 하한 및 상한을 효율적으로 계산할 수 있는 이중 제어 몽테카를로 방법을 설계할 수 있는가?
• RQ2 헤스톤 모델 하에서 γₜ = c(t)√vₜ 형태의 이중 제어 선택이 비-HARA 및 Yarri 유틸리티에 대해 상한의 해석적 접근 가능성을 보장하는가?
• RQ3 하한 및 상한 간의 갭은 경로 수와 시간 단계 수에 따라 어떻게 변화하며, 이를 효율적으로 최소화할 수 있는가?
• RQ4 이중 제어 파ram터가 다양하게 변화하는 경우, 이론적 범위 내에서 이론적 파ram터(이자율, 분산의 평균 회귀, 상관 계수 등)를 포함한 다양한 파ram터 조합에 대해 제안된 방법이 강건한가?

주요 결과

• Yarri 유틸리티의 경우, 20회의 샘플링 시간을 사용할 때 하한 및 상한 간 상대 차이가 뿐 뿐이므로 매우 날카로운 둘레를 확보한다.
• 20회의 샘플링 시간을 사용할 경우, 평균 상대 차이는 0.434%로 감소하고, 평균 절대 차이는 5.8369×10⁻³로 유지되어 일관된 정확도를 입증한다.
• 푸리에-余弦 방법을 사용한 상한 계산은 순수 몽테카를로보다 훨씬 빠르며, γₜ = c√vₜ일 경우 상한 계산 시간이 0.248초로 감소한다.
• 100,000개의 경로로 하한 계산에 약 2.37×10³초가 소요되는 반면, 상한 계산은 10,000개의 경로로 6.08초 밖에 소요되지 않아 계산 효율성이 뛰어나다.
• 10개의 무작위로 샘플된 파ram터 조합에 대해 제안된 방법은 강건성을 유지하며, κ, θ, ρ, ξ 등의 파ram터가 현실적인 범위 내에서 변동하더라도 평균 상대 차이가 0.5% 이하로 유지된다.
• 최적 전략과 종료 자산 분포의 3차원 시각화 결과는 이 방법이 확률적 변동성 하에서 복잡한 동적 행동을 효과적으로 포착할 수 있음을 확인한다.