[논문 리뷰] Dual representation of risk measures on Orlicz spaces

Niushan Gao, Denny H. Leung외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 27.

Risk and Portfolio Optimization인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 오르리치 공간 $L^\Phi$ 내의 볼록집합에 대해 순서 닫힘성과 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-닫힘성이 동치임을 보이며, 이는 $\Phi$ 또는 $\Psi$ 중 적어도 하나가 $\Delta_2$-조건을 만족할 때에만 성립한다. 핵심 결과는 $\Phi$와 $\Psi$가 모두 $\Delta_2$-조건을 만족하지 못할 경우, 파투 성질을 갖는 코herent한 위험 측도가 펜첼-모레우 쌍대 표현을 갖지 못하는 예가 존재함을 보여주며, 이러한 조건 하에서 쌍대 표현에 대한 근본적인 한계를 드러낸다.

ABSTRACT

Let $(\Phi,\Psi)$ be a conjugate pair of Orlicz functions. A set in the Orlicz space $L^\Phi$ is said to be order closed if it is closed with respect to dominated convergence of sequences of functions. A well known problem arising from the theory of risk measures in financial mathematics asks whether order closedness of a convex set in $L^\Phi$ characterizes closedness with respect to the topology $\sigma(L^\Phi,L^\Psi)$. (See [26, p.3585].) In this paper, we show that for a norm bounded convex set in $L^\Phi$, order closedness and $\sigma(L^\Phi,L^\Psi)$-closedness are indeed equivalent. In general, however, coincidence of order closedness and $\sigma(L^\Phi,L^\Psi)$-closedness of convex sets in $L^\Phi$ is equivalent to the validity of the Krein-Smulian Theorem for the topology $\sigma(L^\Phi,L^\Psi)$; that is, a convex set is $\sigma(L^\Phi,L^\Psi)$-closed if and only if it is closed with respect to the bounded-$\sigma(L^\Phi,L^\Psi)$ topology. As a result, we show that order closedness and $\sigma(L^\Phi,L^\Psi)$-closedness of convex sets in $L^\Phi$ are equivalent if and only if either $\Phi$ or $\Psi$ satisfies the $\Delta_2$-condition. Using this, we prove the surprising result that: \emph{If (and only if) $\Phi$ and $\Psi$ both fail the $\Delta_2$-condition, then there exists a coherent risk measure on $L^\Phi$ that has the Fatou property but fails the Fenchel-Moreau dual representation with respect to the dual pair $(L^\Phi, L^\Psi)$}. A similar analysis is carried out for the dual pair of Orlicz hearts $(H^\Phi,H^\Psi)$.

연구 동기 및 목표

• 오르리치 공간 내 볼록집합에 대한 순서 닫힘성과 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-닫힘성의 동치성에 관한 긴장된 재정수학 문제를 해결한다.
• 오르리치 공간 $L^\Phi$ 상에서 위상 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$ 에서 크라인-수밀리안 정리가 성립하는 조건을 명확히 한다.
• 코herent한 위험 측도가 $(L^\Phi, L^\Psi)$ 쌍대쌍에 대해 펜첼-모레우 쌍대 표현을 갖는 조건을 규명한다.
• 분석을 오르리치 심 $(H^\Phi, H^\Psi)$ 의 쌍대쌍으로 확장한다.

제안 방법

• 저자들은 오르리치 공간 $L^\Phi$ 내 볼록집합의 위상적 성질을 쌍대쌍 $(L^\Phi, L^\Psi)$ 에 의해 유도되는 약한 위상 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$ 에 대해 분석한다.
• 노름 유계 볼록집합에 대해, $\Phi$ 또는 $\Psi$ 중 적어도 하나가 $\Delta_2$-조건을 만족할 때에만 순서 닫힘성과 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-닫힘성이 상호로 함의됨을 증명한다.
• 증명은 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$ 에서 크라인-수밀리안 정리의 타당성과 $\Delta_2$-조건 간의 연결고리를 규명함에 기초한다.
• 오르리치 공간 내의 쌍대성 이론과 쌍대 오르리치 함수의 성질을 이용하여 펜첼-모레우 표현의 실패를 분석한다.
• 분석은 오르리치 심 $H^\Phi$ 와 $H^\Psi$ 로 확장되며, 이러한 부분공간에서의 닫힘성과 쌍대성의 행동을 비교한다.
• 반례를 구성함으로써, $\Phi$ 와 $\Psi$ 가 모두 $\Delta_2$-조건을 만족하지 못할 경우, 파투 성질을 갖는 코herent한 위험 측도가 쌍대 표현을 갖지 못할 수 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 오르리치 공간 $L^\Phi$ 내 볼록집합에 대해 순서 닫힘성과 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-닫힘성이 동치인가?
• RQ2 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$ 위상에서 크라인-수밀리안 정리가 오르리치 공간 $L^\Phi$ 상에서 언제 성립하는가?
• RQ3 $\Phi$ 와 $\Psi$ 에 대한 $\Delta_2$-조건과 $L^\Phi$ 상의 위험 측도에 대한 펜첼-모레우 쌍대 표현 존재성 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 코herent한 위험 측도가 $L^\Phi$ 상에서 파투 성질을 갖지만 $(L^\Phi, L^\Psi)$ 에 대해 쌍대 표현을 갖지 못할 수 있는가?
• RQ5 $L^\Phi$ 에 대한 결과가 오르리치 심의 쌍대쌍 $(H^\Phi, H^\Psi)$ 로 어떻게 일반화되는가?

주요 결과

• 오르리치 공간 $L^\Phi$ 내 볼록집합에 대해 순서 닫힘성과 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-닫힘성은 $\Phi$ 또는 $\Psi$ 중 적어도 하나가 $\Delta_2$-조건을 만족할 때에만 동치이다.
• 순서 닫힘성과 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-닫힘성의 일치는 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$ 에서 크라인-수밀리안 정리의 타당성과 동치이다.
• 만약 $\Phi$ 와 $\Psi$ 가 모두 $\Delta_2$-조건을 만족하지 못할 경우, 파투 성질을 갖는 코herent한 위험 측도가 존재하지만 $(L^\Phi, L^\Psi)$ 에 대해 펜첼-모레우 쌍대 표현을 갖지 못한다.
• 이 쌍대 표현의 실패는 두 쌍대 오르리치 함수 모두에서 $\Delta_2$-조건의 부재로 직접적으로 기인한다.
• 오르리치 심 $(H^\Phi, H^\Psi)$ 에 대한 분석은 유사한 결과를 도출하며, 동일한 조건 하에서 이들 부분공간에서도 동일한 쌍대성 실패가 발생함을 시사한다.
• 이 논문은 날카로운 이분법을 설정한다: 쌍대 표현이 정확히 $\Phi$ 또는 $\Psi$ 중 적어도 하나가 $\Delta_2$-조건을 만족할 때에만 성립한다.