[논문 리뷰] Dualities in one-dimensional quantum lattice models: symmetric Hamiltonians and matrix product operator intertwiners

Laurens Lootens, Clement Delcamp외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 12. 16.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 대칭의 행렬 곱 연산자(MPO) 표현을 활용하여 일차원 양자 격자 모델에서의 이중성들을 분류하기 위한 범주론적 프레임워크를 제시한다. 이는 이중 해밀토니안이 융합 범주 위의 서로 다른 모듈러 카테고리에서 유도되며, MPO 인터티너가 국소 연산자를 비국소적인 스트링 오더 연산자로 매핑함으로써 기존의 크라머-반너 및 조르던-바이너 이중성들을 하나의 대수적 구조로 통합함을 밝혀낸다.

ABSTRACT

We present a systematic recipe for generating and classifying duality transformations in one-dimensional quantum lattice systems. Our construction emphasizes the role of global symmetries, including those described by (non)-abelian groups but also more general categorical symmetries. These symmetries can be realized as matrix product operators which allow the extraction of a fusion category that characterizes the algebra of all symmetric operators commuting with the symmetry. Known as the bond algebra, its explicit realizations are classified by module categories over the fusion category. A duality is then defined by a pair of distinct module categories giving rise to dual realizations of the bond algebra, as well as dual Hamiltonians. Symmetries of dual models are in general distinct but satisfy a categorical Morita equivalence. A key novelty of our categorical approach is the explicit construction of matrix product operators that intertwine dual bond algebra realizations at the level of the Hilbert space, and in general map local order operators to non-local string-order operators. We illustrate this approach for known dualities such as Kramers-Wannier, Jordan-Wigner, Kennedy-Tasaki and the IRF-vertex correspondence, a new duality of the $t$-$J_z$ chain model, and dualities in models with the exotic Haagerup symmetry. Finally, we comment on generalizations to higher dimensions.

연구 동기 및 목표

• 기존의 군 대칭을 초월하여 대칭 기반의 체계적 분류를 통해 일차원 양자 격자 모델에서의 이중성을 체계적으로 분류하는 것.
• 크라머-반너, 조르던-바이너, 케네디-타카사 등의 알려진 이중성을 범주적 대칭에 기반한 단일 대수적 구조 안에서 통합하는 것.
• 이중 해밀토니안과 융합 범주 위의 서로 다른 모듈러 카테고리 사이의 대응 관계를 설정하여, 단위군 작용을 초월한 대칭 개념을 일반화하는 것.
• 대칭 연산자를 이중 모델 간에 매핑하는 행렬 곱 연산자(MPO) 인터티너의 명시적 구성, 특히 국소 연산자를 비국소적인 스트링 오더 연산자로의 변환을 포함하는 것.
• 헤이거룹 범주와 같은 특이한 대칭으로의 일반화 및 고차원 모델로의 확장 가능성을 고려한 고차 범주적 구조를 통한 일반화 제안

제안 방법

• 1차원 양자 격자 시스템의 힐버트 공간에 작용하는 행렬 곱 연산자(MPO)로서 일반화된(비아벨리안, 비역행성) 대칭을 실현하는 것.
• 융합 범주 위의 모듈러 카테고리로 분류되는 결합 대칭 대수를 통해 MPO 대칭과 가환하는 대칭 연산자의 대수를 기술하는 것.
• 동일한 결합 대칭 대수를 서로 다른 모듈러 카테고리로 실현하는 두 개의 서로 다른 모듈러 카테고리 쌍을 이중성으로 정의함으로써, 범주적 모리타-유사성 대칭을 갖는 이중 해밀토니안을 도출하는 것.
• 한 모델의 국소 연산자를 이중 모델의 비국소적인 스트링 오더 연산자로 매핑하는 명시적 MPO 인터티너를 구성함으로써 대칭 구조를 유지하는 것.
• 기존의 이중성(예: t-Jz 사슬, IRF-버텍스 이중성)과 특이한 대칭(예: 헤이거룹)에 이 프레임워크를 적용하고, MPO의 텐서 네트워크 표현을 사용하는 것.
• 구면 융합 2범주와 모듈러 2범주를 사용한 고차원 일반화를 제안하며, 부피-경계 대응과 (2+1)차원 토폴로지 오더와의 유사성에 주목하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일차원 양자 격자 모델에서의 이중성은 전통적인 군 작용을 초월한 일반화된 대칭을 통해 어떻게 체계적으로 분류될 수 있는가?
• RQ2 동일한 결합 대칭 대수를 서로 다른 모듈러 카테고리로 실현하는 MPO 인터티너는 이중 해밀토니안을 어떻게 연결하는가?
• RQ3 범주적 이중성 프레임워크 하에서 한 이중 모델의 국소 연산자는 어떻게 다른 이중 모델의 비국소적인 스트링 오더 연산자로 변환되는가?
• RQ4 크라머-반너, 조르던-바이너, 케네디-타카사 등의 다양한 이중성을 하나의 범주적 구조로 통합할 수 있는가?
• RQ5 이 이중성 프레임워크의 고차원 일반화는 무엇이며, (2+1)차원에서의 토폴로지 오더와 가시 경계와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 논문은 이중 해밀토니안이 융합 범주 위의 서로 다른 모듈러 카테고리에서 유도되며, 대칭 연산자를 포함하는 결합 대칭 대수가 이중성에 대해 불변임을 규명한다.
• 범주적 자료로부터 명시적으로 구성된 MPO 인터티너는 한 모델의 국소 연산자를 이중 모델의 비국소적인 스트링 오더 연산자로 매핑함으로써, 연산자 수준에서의 이중성에 대한 구체적 실현을 제공한다.
• 이 프레임워크는 이징 모델의 크라머-반너 이중성과 조르던-바이너 변환을 포함한 기존의 이중성을 성공적으로 재현하며, 그 배경이 되는 융합 범주와 모듈러 카테고리의 구조를 규명한다.
• t-Jz 사슬 모델에 대해 새로운 이중성을 규명하였으며, 비아벨리안 anyonic 자유도를 가진 스핀 사슬과 IRF-버텍스 대응을 통한 버텍스 모델 간의 관계를 밝혀낸다.
• 헤이거룹 범주와 같은 특이한 대칭으로의 일반화가 가능하며, 문헌 자료를 바탕으로 한 MPO와 인터티너의 명시적 텐서 네트워크 구성이 제공된다.
• 이 형식은 구면 융합 2범주와 모듈러 2범주를 사용한 고차원 일반화를 시사하며, 부피-경계 대응과 (2+1)차원 토폴로지 오더와의 잠재적 연결 고려 가능