[논문 리뷰] Duality and quotient spaces of generalized Wasserstein spaces

Nhan‐Phu Chung, Thanh‐Son Trinh|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 29.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 폴리시 거리 공간 위의 일반화된 워셔슈타인 거리 $W_{1}^{a,b}$ 에 대해 캔터비치 이중성을 확립하며, $W_{1}^{a,b}$ 가 평탄한 거리와 일치하고 $(\mathcal{M}(X), W_{1}^{a,b})$ 가 기하학적 공간임을 증명한다. 또한 컴acts 군의 등거리 작용에 대해 몫 사상이 $\mathcal{M}^G(X)$ 와 $\mathcal{M}(X/G)$ 사이에 등거리 동형을 유도함을 보이며, 일반화된 워셔슈타인 공간에 대한 그로모프-하우스도르프 및 등변 그로모프-하우스도르프 수렴 결과를 증명한다.

ABSTRACT

In this article, using ideas of Liero, Mielke and Savaré in [21], we establish a Kantorovich duality for generalized Wasserstein distances $W_1^{a,b}$ on a generalized Polish metric space, introduced by Picolli and Rossi. As a consequence, we give another proof that $W_1^{a,b}$ coincide with flat metrics which is a main result of [25], and therefore we get a result of independent interest that $\left(\mathcal{M}(X), W^{a,b}_1 ight)$ is a geodesic space for every Polish metric space $X$. We also prove that $(\mathcal{M}^G(X),W_p^{a,b})$ is isometric isomorphism to $(\mathcal{M}(X/G),W_p^{a,b})$ for isometric actions of a compact group $G$ on a Polish metric space $X$; and several results of Gromov-Hausdorrf convergence and equivariant Gromov-Hausdorff convergence of generalized Wasserstein spaces. The latter results were proved for standard Wasserstein spaces in [22],[14] and [8] respectively.

연구 동기 및 목표

• 폴리시 거리 공간 위의 일반화된 워셔슈타인 거리 $W_{1}^{a,b}$ 에 대해 캔터비치 이중성을 확립한다.
• 기존의 증명 [PR16]과는 별개로, 이중성에 기반해 $W_{1}^{a,b}$ 와 평탄한 거리의 일치를 재증명한다.
• $(\mathcal{M}(X), W_{1}^{a,b})$ 가 임의의 폴리시 거리 공간 $X$ 에 대해 기하학적 공간임을 보인다.
• 콤���트 군의 등거리 작용 하에서 표준 워셔슈타인 공간의 등거리 몫 결과를 일반화된 $W_{p}^{a,b}$ 공간으로 확장한다.
• 기존의 그로모프-하우스도르프 및 등변 그로모프-하우스도르프 수렴 결과를 일반화된 워셔슈타인 공간의 맥락으로 일반화한다.

제안 방법

• 유계 연속 함수 $\varphi_1, \varphi_2$ 가 조건 $\varphi_1(x) + \varphi_2(y) \leq b d(x,y)$ 와 $\varphi_i(x) \geq -a$ 를 만족하는 이중형식을 사용해 $W_{1}^{a,b}$ 의 캔터비치 이중성을 유도하며, 이중 값은 $I(\varphi) = \inf_{s \geq 0} (s\varphi + a|1-s|)$ 로 표현된다.
• 이중형식이 $W_{1}^{a,b}(\mu, \nu) = \sup \left\{ \int f d(\mu - \nu) : f \in \mathbb{F} \right\}$ 의 캔터비치-루빈스타인 유형 항등식을 복원함을 증명하며, 여기서 $\mathbb{F}$ 는 $a$-유계, $b$-립시츠 함수의 집합이다.
• 등거리 군 작용 하에서, 몰입 사상 $p_\sharp$ 를 통해 $({\mathcal{M}}^G(X), W_p^{a,b})$ 와 $({\mathcal{M}}(X/G), W_p^{a,b})$ 사이에 등거리 동형을 확립한다.
• 이중성 프레임워크를 활용해 최적 계획 $\gamma$ 를 이중 잠재력 $\varphi_1, \varphi_2$ 의 조건과 절대 연속 및 특이 부분으로의 측도 분해를 통해 특성화한다.
• 기존에 $X_n \to X$ 가 그로모프-하우스도르프 위상에서 수렴할 때, $({\mathcal{M}}_p^C(X_n), W_p^{a,b})$ 가 $({\mathcal{M}}_p^C(X), W_p^{a,b})$ 로 그로모프-하우스도르프 수렴함을 증명한다.
• 군 작용이 수렴할 경우, 일반화된 워셔슈타인 공간 위에 유도된 작용이 등변 그로모프-하우스도르프 위상에서 수렴함을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초선형 엔트로피와 컴팩트 부분수준이 없는 상황에서도 폴리시 거리 공간 위의 일반화된 워셔슈타인 거리 $W_{1}^{a,b}$ 에 대해 캔터비치 이중성이 성립하는가?
• RQ2 기존의 증명 [PR16]과 별개로, 이중성에 기반해 $W_{1}^{a,b}$ 와 평탄한 거리의 일치를 재증명할 수 있는가?
• RQ3 $(\mathcal{M}(X), W_{1}^{a,b})$ 가 임의의 폴리시 거리 공간 $X$ 에 대해 기하학적 공간인가?
• RQ4 콤팩트 군 $G$ 가 국소 컴팩트 폴리시 거리 공간 $X$ 에 등거리로 작용할 때, 몰입 사상 $p_\sharp$ 가 $\mathcal{M}^G(X)$ 와 $\mathcal{M}(X/G)$ 사이에 $W_p^{a,b}$ 에 대해 등거리 동형을 유도하는가?
• RQ5 일반화된 워셔슈타인 공간이 기저 거리 공간의 그로모프-하우스도르프 및 등변 그로모프-하우스도르프 수렴성을 상속하는가?

주요 결과

• 이중형식을 통해 $W_{1}^{a,b}$ 의 캔터비치 이중성이 확립되며, $W_{1}^{a,b}(\mu_1, \mu_2) = \sup_{(\varphi_1, \varphi_2) \in \Phi_W} \sum_i \int_X I(\varphi_i(x)) d\mu_i(x)$ 로 표현되며, 여기서 $I(\varphi) = \inf_{s \geq 0} (s\varphi + a|1-s|)$ 이다.
• 이중성은 캔터비치-루빈스타인 유형 항등식 $W_{1}^{a,b}(\mu, \nu) = \sup \left\{ \int f d(\mu - \nu) : \|f\|_\infty \leq a, \|f\|_{\text{Lip}} \leq b \right\}$ 을 함의하며, 이는 [PR16]에서의 평탄한 거리 일치를 재증명한다.
• $(\mathcal{M}(X), W_{1}^{a,b})$ 는 임의의 폴리시 거리 공간 $X$ 에 대해 기하학적 공간이며, 독립적인 관심사가 있다.
• 콤팩트 군 $G$ 가 국소 컴팩트 폴리시 거리 공간 $X$ 에 등거리로 작용할 경우, 몰입 사상 $p_\sharp: (\mathcal{M}^G(X), W_p^{a,b}) \to (\mathcal{M}(X/G), W_p^{a,b})$ 는 등거리 사상이다.
• 기존에 $X_n \to X$ 가 그로모프-하우스도르프 위상에서 수렴할 경우, 일반화된 워셔슈타인 공간 $({\mathcal{M}}_p^C(X_n), W_p^{a,b})$ 는 $({\mathcal{M}}_p^C(X), W_p^{a,b})$ 로 그로모프-하우스도르프 위상에서 수렴한다.
• 군 작용 $\alpha_n \to \alpha$ 가 작용 위상에서 수렴할 경우, 일반화된 워셔슈타인 공간 위에 유도된 작용 $\alpha_n\sharp$ 는 등변 그로모프-하우스도르프 위상에서 $\alpha_\sharp$ 로 수렴한다.