[논문 리뷰] Duality between Lagrangian and Legendrian invariants

Tobias Ekholm, Yankı Lekili|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 05.

Geometric and Algebraic Topology인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 위스턴 만만에서 정확한 라그랑주 빈티지 $L$를 가진 레이지언드르 부분다양체 $λ$의 체카노프-엘리아샤버 DG대수 $CE^*(\Lambda)$와 라그랑주 빈티지 $L$의 플로어 코호몰로지 $CF^*(L)$ 사이의 코슈울 듀얼리티를, 힐로모르픽 곡선 수를 통해 구성된 트위스팅 코체인을 사용하여 수립한다. 단순연결성 조건 하에서, 이 듀얼리티는 $CE^*(\Lambda) \simeq \Omega CF_*(L)$를 함의하며, 고전적 코슈울 듀얼리티를 일반화하고 심플렉틱 토폴로지에서의 계산에 기하적 기반을 제공한다.

ABSTRACT

Consider a pair $(X,L)$, of a Weinstein manifold $X$ with an exact Lagrangian submanifold $L$, with ideal contact boundary $(Y,Λ)$, where $Y$ is a contact manifold and $Λ\subset Y$ is a Legendrian submanifold. We introduce the Chekanov-Eliashberg DG-algebra, $CE^{\ast}(Λ)$, with coefficients in chains of the based loop space of $Λ$ and study its relation to the Floer cohomology $CF^{\ast}(L)$ of $L$. Using the augmentation induced by $L$, $CE^{\ast}(Λ)$ can be expressed as the Adams cobar construction $Ω$ applied to a Legendrian coalgebra, $LC_{\ast}(Λ)$. We define a twisting cochain:\[\mathfrak{t} \colon LC_{\ast}(Λ) o \mathrm{B} (CF^*(L))^\#\]via holomorphic curve counts, where $\mathrm{B}$ denotes the bar construction and $\#$ the graded linear dual. We show under simply-connectedness assumptions that the corresponding Koszul complex is acyclic which then implies that $CE^*(Λ)$ and $CF^{\ast}(L)$ are Koszul dual. In particular, $\mathfrak{t}$ induces a quasi-isomorphism between $CE^*(Λ)$ and the cobar of the Floer homology of $L$, $ΩCF_*(L)$. We use the duality result to show that under certain connectivity and locally finiteness assumptions, $CE^*(Λ)$ is quasi-isomorphic to $C_{-*}(ΩL)$ for any Lagrangian filling $L$ of $Λ$. Our constructions have interpretations in terms of wrapped Floer cohomology after versions of Lagrangian handle attachments. In particular, we outline a proof that $CE^{\ast}(Λ)$ is quasi-isomorphic to the wrapped Floer cohomology of a fiber disk $C$ in the Weinstein domain obtained by attaching $T^{\ast}(Λ imes[0,\infty))$ to $X$ along $Λ$ (or, in the terminology of arXiv:1604.02540 the wrapped Floer cohomology of $C$ in $X$ with wrapping stopped by $Λ$). Along the way, we give a definition of wrapped Floer cohomology without Hamiltonian perturbations.

연구 동기 및 목표

• 위스턴 만만에서 정확한 라그랑주 빈티지 $L$의 플로어 코호몰로지 $CF^*(L)$와 기반 루프 공간 계수를 가진 체카노프-엘리아샤버 DG대수 $CE^*(\Lambda)$ 사이의 듀얼리티 수립.
• 힐로모르픽 곡선 불변량을 사용하여 고전적 코슈울 듀얼리티 $C^*(L)$와 $C_*(-\Omega L)$를 심플렉틱 설정으로 일반화.
• velop드 플로어 코호몰로지와 라그랑주 핸들 부착을 통한 대수적 듀얼리티의 기하적 해석 제공.
• 해밀턴 페르튜베이션 없이 힐로모르픽 빌딩을 통해 워프드 플로어 코호몰로지 정의하여 새로운 기하적 프레임워크 제공.

제안 방법

• 위스턴 만만에서의 힐로모르픽 곡선 수를 사용하여 $LC_*(\Lambda) \to \mathrm{B}(CF^*(L))^\#$ 에 대한 트위스팅 코체인 $\mathfrak{t}$ 구성.
• 단순연결성 조건 하에서 아담스 코바르 건축 $\Omega$ 를 사용하여 $CE^*(\Lambda)$ 와 $CF_*(L)$ 의 코바르 사이의 준동형을 수립, 준동형이 성립함을 보임.
• 바르 건축과 그라디에이티드 쌍대를 사용하여 $L$ 에 의해 유도되는 증폭에 의해 $LC_*(\Lambda)$ 의 레이지언드르 코알제브라로부터 $CE^*(\Lambda)$ 를 코바르로 정의.
• 코슈울 복합체 건축을 적용하여 순환성 검출, 이는 준동형과 따라서 $CE^*(\Lambda)$ 와 $\Omega CF_*(L)$ 사이의 듀얼리티를 함의함.
• 에너지 필터링과 유한차원 근사로 힐로모르픽 디스크 기여를 제어하고, 작은 액션 창에서 준동형을 증명함.
• 워프드 플로어 코호몰로지 $CW^*(C)$ 와 체카노프-엘리아샤버 대수 사이의 체인 사상 $\Psi_1: CW^*(C) \to CE^*(\Lambda)$ 를 구성하고, 단어 길이에 대한 귀납적 증명과 액션 제어를 통해 준동형임을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 체카노프-엘리아샤버 DG대수 $CE^*(\Lambda)$ 는 라그랑주 빈티지 $L$ 의 플로어 코호몰로지 $CF^*(L)$ 와 코슈울 듀얼인가?
• RQ2 힐로모르픽 곡선으로부터 구성된 트위스팅 코체인이 $CE^*(\Lambda)$ 와 $CF_*(L)$ 의 코바르 사이의 준동형을 어떻게 유도하는가?
• RQ3 위스턴 도메인에서 $\Lambda$ 에 의해 워핑이 멈춘 섬유 디스크 $C$ 의 워프드 플로어 코호몰로지 $CW^*(C)$ 의 기하적 의미는 무엇인가?
• RQ4 해밀턴 페르튜베이션 없이 힐로모르픽 빌딩을 사용하여 워프드 플로어 코호몰로지를 정의할 수 있는가?
• RQ5 이 듀얼리티는 대수적 토폴로지에서의 고전적 코슈울 듀얼리티를 심플렉틱 설정으로 어떻게 일반화하는가?

주요 결과

• 단순연결성 조건 하에서 트위스팅 코체인 $\mathfrak{t}$ 는 $CE^*(\Lambda)$ 와 $\Omega CF_*(L)$ 사이의 준동형을 유도하며, 코슈울 듀얼리티를 수립한다.
• 연결성과 국소 유한성 조건 하에서, 체카노프-엘리아샤버 대수 $CE^*(\Lambda)$ 는 임의의 레이지언드르 빈티지 $L$ 에 대해 $C_{-*}(\Omega L)$ 와 준동형임을 보였다.
• 체인 사상 $\Psi_1: CW^*(C) \to CE^*(\Lambda)$ 는 준동형이며, 작은 액션 창에서 삼각형 액션 행렬과 $\pm 1$ 대각 항목을 가진다.
• 힐로모르픽 곡선 수를 통한 트위스팅 코체인 구성은 심플렉틱 토폴로지에서 대수적 코슈울 듀얼리티의 기하적 실현을 제공한다.
• 라그랑주 빈티지 $\Lambda$ 와 $[0,\infty)$ 를 곱한 $T^*(\Lambda \times [0,\infty))$ 를 붙인 위스턴 도메인에서의 섬유 디스크 $C$ 의 워프드 플로어 코호몰로지 $CW^*(C)$ 는 $CE^*(\Lambda)$ 와 준동형이며, $\Lambda$ 에 의해 워핑이 멈춘다.
• 논문은 해밀턴 페르튜베이션 없이 힐로모르픽 빌딩을 사용하여 워프드 플로어 코호몰로지를 페르튜베이션 없이 정의함으로써, 새로운 기하적 프레임워크를 제공한다.