[논문 리뷰] Duality for admissible locally analytic representations

Peter Schneider, Jeremy Teitelbaum|ArXiv.org|2004. 03. 29.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 8인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 $p$-진 국소 해석적 군 $G$에 대한 coadmissible $D(G,K)$-모듈의 유계 유도 범주 위에 duality 함자를 수립한다. 이는 고전적 smooth duality를 확장하며, 이중화 모듈을 통한 유도 Hom을 통해 실현되며, degree shift를 동반한 표준 smooth 대조적(dual)을 유도하고, 주요 시리즈 표현에 대한 작용을 계산하여 $\dim P$ 차수에서 자기 이중성(self-dual)을 가진 Ext-군을 얻는다. 이 구성은 분포 대수 $D(G,K)$의 almost-Auslander-regular 성질과 Fréchet-Stein 대수와의 관계에 기반한다.

ABSTRACT

We study the problem of constructing a contragredient functor on the category of admissible locally analytic representations of a p-adic analytic group G. A naive contragredient does not exist. As a best approximation, we construct an involutive "duality" functor from the bounded derived category of modules over the distribution algebra of G with coadmissible cohomology to itself. On the subcategory corresponding to complexes of smooth representations, this functor induces the usual smooth contragredient (with a degree shift). Although we construct our functor in general we obtain its involutivity, for technical reasons, only in the case of locally Qp-analytic groups.

연구 동기 및 목표

• 유계 유도 범주에서 coadmissible $D(G,K)$-모듈에 대한 duality 함자를 구성하는 것.
• 고전적 smooth 대조적 이중성 이론을 적합한 국소 해석적 표현의 맥락으로 확장하는 것.
• 국소 $\mathbb{Q}_p$-해석적 군의 경우, 새로운 duality 함자가 유도 범주에서 자기 이중성(involutive)임을 보이는 것.
• 주요 시리즈 표현에 대한 duality 작용을 계산하고, 이가 $\dim P$ 차수에서 자기 이중성을 유도함을 보이는 것.
• Auslander regular 링의 전역 이중성 $M \mapsto R\mathrm{Hom}_A(M,A)$와의 연결 고리를 확립하며, $D(G,K)$의 비-Auslander-regular이지만 거의 regular한 구조에 적응하는 것.

제안 방법

• dualizing 모듈 $\mathfrak{D}_K(G)$를 사용하여 $R\mathrm{Hom}_{D(G,K)}(-, \mathfrak{D}_K(G))$로 duality 함자를 구성한다. 여기서 $\mathfrak{D}_K(G)$는 $G$ 위의 컴팩트 지지 국소 해석적 함수들의 강한 쌍대 공간이다.
• 모든 컴팩트 열린 부분군 $H \subset G$에 대해 $D(G,K)$가 $D(H,K)$-모듈로 자유롭고, $D(H,K)$가 Fréchet-Stein 대수임을 이용한다.
• Auslander regular 밴드 대수이면서 $A$-모듈이 coadmissible일 경우 $\mathrm{Ext}^*_A(M, A)$가 coadmissible임을 이용한다.
• Shapiro의 보조정리를 적용하여 $D(G,K)$-모듈과 $D(H,K)$-모듈 간의 관계를 설정하고, duality 자료를 이전한다.
• noetherian 성질과 $D^c(P_0,K) \to D(P_0,K)$의 평탄성 덕분에 $K_{\chi^{-1}}$을 $D(P_0,K)$-모듈로 해체한다.
• 기저 전환을 통해 $D(P,K)$-모듈로의 전환을 적용하고, Proposition 6.4를 사용하여 $\mathrm{Ext}^*_{D(G,K)}(\mathrm{Ind}_P^G(\chi)^\prime, \mathfrak{D}_K(G))$를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 나이브한 대조적 표현이 존재하지 않을 경우, 적합한 국소 해석적 표현에 대한 duality 함자를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 coadmissible $D(G,K)$-모듈 위의 유도 이중성은 smooth 표현의 부분범주에서 degree shift를 고려할 때 표준 smooth 대조적 표현으로 제한되는가?
• RQ3 국소 $\mathbb{Q}_p$-해석적 군의 경우, 구성된 duality 함자가 유도 범주의 유계 부분에서 자기 이중성인가?
• RQ4 파라보릭 부분군 $P$에서 유도된 주요 시리즈 표현에 대한 duality 함자의 작용은 무엇인가?
• RQ5 almost-Auslander-regular 링인 $D(G,K)$의 맥락에서, duality 함자와 전역 이중성 $M \mapsto R\mathrm{Hom}_A(M,A)$는 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 국소 $\mathbb{Q}_p$-해석적 군일 경우, coadmissible $D(G,K)$-모듈의 유도 범주 위의 duality 함자는 자기 이중성이다.
• duality 함자는 smooth 표현의 부분범주에서 degree shift를 고려할 때 표준 smooth 대조적 표현을 유도한다.
• 주요 시리즈 표현 $\mathrm{Ind}_P^G(\chi)^\prime$에 대해, $\mathfrak{D}_K(G)$ 값의 $\mathrm{Ext}^*$ 군에서 유일하게 비자명한 것은 $\dim P$ 차수이며, 이는 $\mathrm{Ind}_P^G((\chi \delta_P)^{-1})^\prime$와 동형이다.
• 이중화 모듈 $\mathfrak{D}_K(G)$는 $G$ 위의 컴팩트 지지 국소 해석적 함수 공간의 강한 쌍대 공간과 동형이며, 모듈러스 특성으로 휘어진다.
• $\mathrm{Ext}^*_{D(P,K)}(K_{\chi^{-1}}, \mathfrak{D}_K(P))$ 군은 $\dim P$ 차수에서 $K_{(\chi \delta_P)^{-1}}$와 동형이며, 나머지 차수에서는 0이며, 이는 오른쪽 $D(P,K)$-모듈로서 성립한다.
• $K_{\chi^{-1}}$의 $D(P_0,K)$-모듈로서의 해체는 $o[[P_0]]$의 noetherian 성질과 $D^c(P_0,K) \to D(P_0,K)$의 평탄성 덕분에 존재한다.