[논문 리뷰] Duality for Lie-Rinehart algebras and the modular class

Johannes Huebschmann|ArXiv.org|1997. 02. 08.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 5인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 기본 클래스와 캡 곱을 사용한 리-리네르트 대수에 대한 이중성 이론을 제안하며, 리 대수와 드 라함 코homology에서의 포incare 이중성의 일반화를 다룬다. 기본 클래스와 관련된 내재된 모듈을 통해 모듈라 클래스를 정의하고, 적절한 성질을 갖춘 파울슨 대수는 이 클래스를 유도함으로써 파울슨 호모로지에서 이차형 쌍대성 쌍을 이룬다.

ABSTRACT

We introduce a notion of duality for a Lie-Rinehart algebra giving certain bilinear pairings in its cohomology generalizing the usual notions of Poincaré duality in Lie algebra cohomology and de Rham cohomology. We show that the duality isomorphisms can be given by a cap product with a suitable fundamental class and hence may be taken natural in any reasonable sense. Thereafter, for a Lie-Rinehart algebra satisfying duality, we introduce a certain intrinsic module which provides a crucial ingredient for the construction of the bilinear pairings. This module determines a certain class, called modular class of the Lie-Rinehart algebra, which lies in a certain Picard group generalizing the abelian group of flat line bundles on a smooth manifold. Finally, we show that a Poisson algebra having suitable properties determines a certain module for the corrresponding Lie-Rinehart algebra and hence modular class whose square yields the module and characteristic class for its Lie-Rinehart algebra mentioned before. In particular, this gives rise to certain bilinear pairings in Poisson homology.

연구 동기 및 목표

• 코homology에서의 이중성 동형사상에 의한 리-리네르트 대수에 대한 포incare 이중성의 일반화.
• 캡 곱을 통해 이중성을 유도하는 기본 클래스가 존재하는 코homology에서의 캡 곱을 통한 이중성 이론의 수립.
• 일반화된 피카르 군 내의 특징 클래스로서의 모듈라 클래스의 정의.
• 모듈라 클래스를 유도하는 모듈 이론적 구성에 의한 파울슨 대수와 리-리네르트 대수 간의 연결.
• 모듈라 클래스와 그 제곱을 통해 파울슨 호모로지에서의 이차형 쌍대성 쌍을 수립하는 것.

제안 방법

• 코homology에서 기본 클래스와의 캡 곱을 통해 리-리네르트 대수에 대한 이중성 구조를 도입.
• 리-리네르트 대수와 관련된 내재된 모듈을 구성하여 모듈라 클래스를 결정.
• 일반화된 피카르 군 내의 원소로써 모듈라 클래스를 정의하여 매끄러운 다양체 위의 평탄한 선다발 개념을 확장.
• 모듈라 클래스의 제곱이 리-리네르트 대수 모듈의 특징 클래스에 대응함을 보임.
• 이중성 동형사상들을 사용하여 코homology에서의 이차형 쌍대성 쌍을 정의하고, 고전적 이중성 정리들을 일반화.
• 모듈 이론적 구성에 의한 파울슨 대수와 적절한 성질을 갖춘 리-리네르트 대수 간의 대응을 수립.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 리-리네르트 대수의 맥락에서 포incare 이중성을 일반화할 수 있는가?
• RQ2 기본 클래스는 리-리네르트 코homology에서 이중성 동형사상 유도에 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 리-리네르트 대수의 모듈라 클래스는 어떻게 정의되며, 일반화된 피카르 군 내에서 그 의미는 무엇인가?
• RQ4 어떤 방식으로 파울슨 대수는 리-리네르트 대수와 그 모듈라 클래스를 유도하는가?
• RQ5 모듈라 클래스와 그 제곱으로부터 파울슨 호모로지에서 어떤 이차형 쌍대성 쌍이 유도되는가?

주요 결과

• 기본 클래스와의 캡 곱을 통한 이중성 동형사상이 리-리네르트 코homology에서 확립되었으며, 고전적 이중성 정리들을 일반화한다.
• 모듈라 클래스는 일반화된 피카르 군 내의 원소로 정의되어 매끄러운 다양체 위의 평탄한 선다발 개념을 확장한다.
• 모듈라 클래스의 제곱은 리-리네르트 대수 모듈과 관련된 특징 클래스를 유도한다.
• 적절한 성질을 갖춘 파울슨 대수에 대해, 관련된 리-리네르트 대수는 자연스러운 모듈과 모듈라 클래스를 상속한다.
• 이러한 구성들은 파울슨 호모로지에서 잘 정의된 이차형 쌍대성 쌍을 이룬다. 이는 이중성 개념을 파울슨 구조로 확장한다.
• 이중성 동형사상은 범주론적 의미에서 자연스럽다. 이는 근본적인 기본 클래스에서 유도되기 때문이다.