[논문 리뷰] Duality for partial group actions

Christian Lomp|ArXiv.org|2007. 11. 06.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 10인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 코HEN-MONTGOMERY 이중성 이론을 부분군 작용으로 일반화하여 부분 스칼라 군환에 대한 이중성 이론을 수립한다. 이는 스멀 제품 $\tau*_{\alpha}G$와 쌍대 군환 $k[G]^*$의 스멀 곱이 직접곱 $K \times \mathbf{e}M_n(\mathcal{A})\mathbf{e}$와 동형임을 보이며, 여기서 $\mathbf{e}$는 $M_n(\mathcal{A})$ 내의 특정 아이디포텐트이고, $\mathcal{A}*_{\alpha}G$는 $\mathbf{e}M_n(\mathcal{A})\mathbf{e}$ 내의 분리 가능한 부분대수로 포함됨을 보여, 고전적 이중성 이론을 부분 작용 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

Given a finite group G acting as automorphisms on a ring A, the skew group ring A*G is an important tool for studying the structure of G-stable ideals of A. The ring A*G is G-graded, i.e.G coacts on A*G. The Cohen-Montgomery duality says that the smash product A*G#k[G]^* of A*G with the dual group ring k[G]^* is isomorphic to the full matrix ring M_n(A) over A, where n is the order of G. In this note we show how much of the Cohen-Montgomery duality carries over to partial group actions in the sense of R.Exel. In particular we show that the smash product (A*_αG)#k[G]^* of the partial skew group ring A*_αG and k[G]^* is isomorphic to a direct product of the form K x eM_n(A)e where e is a certain idempotent of M_n(A) and K is a subalgebra of (A *_αG)#k[G]^*. Moreover A*_αG is shown to be isomorphic to a separable subalgebra of eM_n(A)e. We also look at duality for infinite partial group actions and for partial Hopf actions.

연구 동기 및 목표

• 전역 군 작용에 대한 고전적 코헨-몬트고메리 이중성을 부분군 작용 설정으로 확장하기.
• 유한군 $G$의 부분 작용에 대해 스멀 곱 $(\mathcal{A}*_{\alpha}G)\#k[G]^*$의 구조를 조사하기.
• 스멀 곱의 이미지를 행렬환과 아이디포텐트를 통해 규명하기.
• 무한 부분군 작용과 부분 호프 작용으로의 이중성 일반화하기.

제안 방법

• 곱셈 $(a\overline{g})(b\overline{h}) = \alpha_g(\alpha_{g^{-1}}(a)b)\overline{gh}$를 갖는 부분 스칼라 군환 $\mathcal{A}*_{\alpha}G = \bigoplus_{g\in G}D_g$를 사용한다.
• 중앙 아이디포텐트에 의해 생성되는 이상 $D_g = \mathcal{A}1_g$를 통해 $\mathcal{A}*_{\alpha}G$에 $G$-중량을 정의한다.
• 작용 $g\cdot a = \alpha_g(a1_{g^{-1}})$를 정의하여 $k$-선형 사상 $k[G]\otimes\mathcal{A} \to \mathcal{A}$를 유도한다.
• 기저 $p_g$를 갖는 쌍대 군환 $k[G]^*$를 사용하여 스멀 곱 $(\mathcal{A}*_{\alpha}G)\#k[G]^*$을 구성한다.
• 스멀 곱의 이미지를 $K \times \mathbf{e}M_n(\mathcal{A})\mathbf{e}$로 식별한다. 여기서 $\mathbf{e} = \sum_i (b_i\cdot 1)\otimes \rho(S^{-1}(p_i)\otimes 1)$이다.
• 일반화된 블라튼너-몬트고메리 이중성을 부분 호프 작용에 적용하기 위해 부분 스멀 곱 $\underline{\mathcal{A}\#H}\#H^*$를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부분군 작용의 맥락에서 코헨-몬트고메리 이중성의 어느 정도가 유지되는가?
• RQ2 유한군 $G$의 부분 작용에 대해 스멀 곱 $(\mathcal{A}*_{\alpha}G)\#k[G]^*$의 구조는 어떠한가?
• RQ3 부분 스칼라 군환 $\mathcal{A}*_{\alpha}G$는 이중성에 의해 $\mathcal{A}$ 위의 행렬대수로 포함될 수 있는가?
• RQ4 이중성은 무한 부분군 작용과 부분 호프 작용으로 어떻게 일반화되는가?

주요 결과

• 스멀 곱 $(\mathcal{A}*_{\alpha}G)\#k[G]^*$는 부분대수 $K$와 $M_n(\mathcal{A})$ 내의 중심 아이디포텐트 $\mathbf{e}$를 갖는 직접곱 $K \times \mathbf{e}M_n(\mathcal{A})\mathbf{e}$와 동형이다.
• 부분 스칼라 군환 $\mathcal{A}*_{\alpha}G$는 $\mathbf{e}M_n(\mathcal{A})\mathbf{e}$ 내의 분리 가능한 부분대수와 동형이다.
• 사상 $\Phi: \mathcal{A}\otimes H\#H^* \to \mathcal{A}\otimes \mathrm{End}_k(H)$가 $a\otimes h\#f \mapsto \phi(a)\psi(h\#f)$로 정의될 때, 이는 대수 준동형사상이다.
• 스멀 곱 $\underline{\mathcal{A}\#H}\#H^*$의 이미지는 $\mathbf{e}(\mathcal{A}\otimes \mathrm{End}_k(H))\mathbf{e}$ 내에 포함된다.
• 아이디포텐트 $\mathbf{e} = \sum_i (b_i\cdot 1)\otimes \rho(S^{-1}(p_i)\otimes 1)$는 $\mathbf{e}^2 = \mathbf{e}$를 만족하며, $\underline{\mathcal{A}\#H}\#H^*$의 단위원의 이미지이다.