[논문 리뷰] Duality for spatially interacting Fleming-Viot processes with mutation and selection

Donald A. Dawson, Andreas Greven|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 06.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 21인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 돌연변이와 선택이 있는 공간적 상호작용 플레밍-비オ트 과정에 대해 함수값, 집합값, 표창값 이중성 과정을 사용하여 이중성 관계를 수립한다. 이중성 과정은 융합-분열 랜덤 워크에 의해 구동되며, 주요 기여는 모든 순간이 초기 조건과 무관하게 유일한 평형 분포로 수렴함을 보여주는 엄밀한 집합값 이중성 과정을 제공한다는 점이다. 이는 약한 선택과 공간적 혼합 조건 하에서도 성립한다.

ABSTRACT

Consider a system $X = ((x_ξ(t)), ξ\in Ω_N)_{t \geq 0}$ of interacting Fleming-Viot diffusions with mutation and selection which is a strong Markov process with continuous paths and state space $(\CP(\I))^{Ω_N}$, where $\I$ is the type space, ${Ω_N}$ the geographic space is assumed to be a countable group and $\CP$ denotes the probability measures. We establish various duality relations for this process. These dualities are function-valued processes which are driven by a coalescing-branching random walk, that is, an evolving particle system which in addition exhibits certain changes in the function-valued part at jump times driven by mutation. In the case of a finite type space $\I$ we construct a set-valued dual process, which is a Markov jump process, which is very suitable to prove ergodic theorems which we do here. The set-valued duality contains as special case a duality relation for any finite state Markov chain. In the finitely many types case there is also a further tableau-valued dual which can be used to study the invasion of fitter types after rare mutation. This is carried out in \cite{DGsel} and \cite{DGInvasion}.

연구 동기 및 목표

• 공간적 설정에서 돌연변이와 선택이 있는 상호작용 플레밍-비오트 확산 과정에 대한 종합적인 이중성 이론을 개발하는 것.
• 복잡한 측도값 확산 과정의 분석을 단순화하기 위해 함수값, 집합값, 표창값 이중성 과정을 수립하는 것.
• 집합값 이중성 과정을 활용하여 시스템의 비상수성 정리를 증명하고, 모든 순간이 유일한 평형 분포로 수렴함을 보이는 것.
• 장거리 이주가 존재하더라도, 공간적 혼합 조건 하에서 극한 분포가 이동 비상수성임을 보이는 것.
• 후속 연구에서 적용된 표창값 이중성 과정을 통해 더 나은 유형의 침입 역학을 연구할 수 있는 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 과정은 잘 정의된 마틴게일 문제로 특징지어지며, 상태 공간 $({\mathcal{P}}(\mathbb{I}))^{\Omega_N}$ 에서 약한 유일성과 강한 마르코프 성질을 보장한다.
• 융합-분열 랜덤 워크에 의해 구동되는 돌연변이 유도 이동을 포함한 함수값 이중성 과정이 구성되며, 항등식 $\mathbb{E}[H(Z(t),Z'_0)] = \mathbb{E}[H(Z_0,Z'(t))]$ 를 통해 이중성 관계를 확립한다.
• 유한한 유형 공간에 대해 집합값 이중성 과정이 마르코프 점프 과정으로 도입되며, 융합과 분열을 통해 진화하고, $\mathbb{I}$ 또는 $\emptyset$ 에서 포획됨으로써 순간 수렴을 보장한다.
• 분석적 취급 용이성과 해석 가능성 향상을 위해 순서된 인자와 결합된 합성항을 사용하여 집합값 이중성 과정을 정교화한다.
• 맥킨-플라소프 극한은 $S=\mathbb{N}$ 에서 이중성 과정을 고려함으로써 분석되며, 독립적인 이중 클라우드가 진화하고, 양의 해소 확률로 인해 결국 종료됨을 보여준다.
• 공간적 동질성과 비상수성은 먼 거리에 있는 이중 클라우드 간 충돌 확률이 계층적 거리에 따라 지수적으로 감소함을 보여줌으로써 증명된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 돌연변이와 선택이 있는 공간적 상호작용 플레밍-비오트 과정에 대해 어떻게 이중성을 수립할 수 있는가?
• RQ2 유한한 유형의 경우 집합값 이중성 과정의 구조와 행동은 어떻게 되며, 이를 통해 비상수성 증명가 가능하게 하는가?
• RQ3 시스템의 혼합순서가 평형으로 수렴하는 방식은 어떠한가? 그리고 극한 분포는 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ4 이주와 공간적 구조는 시스템의 수렴성과 비상수성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이중성 과정은 더 나은 유형의 침입 역학과 유전자 계보학적 구조를 어떻게 반영하는가?

주요 결과

• 집합값 이중성 과정은 거의 확실히 유한한 랜덤 시간 내에 포획(전체 집합 $\mathbb{I}$ 또는 공집합 $\emptyset$)에 도달하며, 이는 모든 순간이 초기 조건과 무관하게 극한으로 수렴함을 보장한다.
• 시스템의 모든 순간은 동일한 평형 분포로 수렴하며, 이는 $m_{i,j}>0$ for all $i,j\in\{1,\dots,M\}$ 인 상호작용 플레밍-비오트 과정에 대한 비상수성 정리를 증명한다.
• 극한 상태는 이동 비상수성이다. 이는 거리 $\ell$ 가 매우 멀리 떨어져 있을수록 사이트 간 상관관계가 $\sim \frac{c_\ell / N^{2\ell}}{\lambda + c_\ell / N^{2\ell}}$ 와 같이 감소하며, $\ell\to\infty$ 일 때 0으로 수렴함을 의미한다.
• M=2 인 경우, 이중성 과정은 어느 한 위치가 $(11)$ 에 도달하면 $1$ 으로 해소되고, 모두 $(00)$ 으로 해소되며 이주자가 생성되지 않으면 $0$ 으로만 해소되며, 과정은 거의 확실히 종료된다.
• M>2 인 경우, 표창의 열 수는 양의 재귀적이며, 시스템은 결국 모든 인자들이 $\mathbb{I}$ 또는 $\emptyset$ 로 포획된 상태에 도달하여 순간 수렴을 보장한다.
• 맥킨-플라소프 극한에서는 독립적인 이중 클라우드가 존재하며, 양의 해소 확률로 인해 결국 종료되며, 이는 순간 수렴성과 비상수성을 보장한다.