[논문 리뷰] Duality in Gerstenhaber algebras

Yves Félix, Luc Menichi외 1명|ArXiv.org|2002. 11. 14.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 12인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 콘일포텐셜인 미분 등급 코알제브라에 대해, 이중 코알제브라 $C^\vee$와 코바르 구조 $\overline{\Omega}C$의 호크시드 코homology 간 이중성을 확립하며, 유한성 조건 하에서 게르스텐하버 대수로서의 동형을 증명한다. 이 이중성은 특성 0에서 닫힌 온전한 다양체의 자유 루프 공간 호모로지 위에서 채스-설리반 루프 곱을 호모토피적으로 실현한다.

ABSTRACT

Let $C$ be a differential graded coalgebra, $ \barΩC$ the Adams cobar construction and $C^\vee$ the dual algebra. We prove that for a large class of coalgebras $C$ there is a natural isomorphism of Gerstenhaber algebras between the Hochschild cohomologies $HH^\ast (C^\vee, C ^\vee)$ and $HH^\ast (\barΩC ; \barΩC)$. This result permits to describe a Hodge decomposition of the loop space homology of a closed oriented manifold, in the sense of Chas-Sullivan, when the field of coefficients is of characteristic zero.

연구 동기 및 목표

• 지정된 종류의 미분 등급 코알제브라에 대해, $C^\vee$와 $\overline{\Omega}C$의 호크시드 코homology 간 이중성을 확립한다.
• 닫힌 온전한 다양체의 자유 루프 공간 호모로지 위에서 채스-설리반 루프 곱의 구조에 대한 호모토피적 해석을 제공한다.
• 유한성 및 음이 아닌 조건 하에서, $C^\vee$와 $\overline{\Omega}C$의 호크시드 코homology가 게르스텐하버 대수로서 동형임을 증명한다.
• 자유 모델과 유도자의 미분 등급 리 대수를 사용하여, 호크시드 복합체 간 자연스러운 준동형을 구성한다.

제안 방법

• 호크시드 복합체 $\overline{\Omega}C$ 에서의 $C^\vee$ 로의 호모모르피즘 $\mathcal{D}$ 를 구성하고, 이를 공호모로지에 유도한다.
• 각각 $C^\vee$ 와 $\overline{\Omega}C$ 와 준동형인 자유 모델 $(TV,d)$ 와 $(TW,d)$ 를 사용하여 공호모로지 구조를 분석한다.
• 유도자의 새로운 미분과 괄호를 가진 확장된 미분 등급 리 대수 $\widetilde{\rm Der}A = {\rm Der}A \oplus sA$ 를 도입하여 유도자를 모델링한다.
• 복합체 $s{\bf C}^\ast(A;A)$ 와 ${{\bf C}}_\infty^\ast({\ell\!k} \oplus sV; {\ell\!k} \oplus sV)$ 가 $\widetilde{\rm Der}A$ 와 준동형임을 증명하여, 호크시드 코homology와 $A_\infty$-코알제브라 코homology를 연결한다.
• 준동형에 대한 자연성에 기반하여, $H(\widetilde{\rm Der}(TW,d))$ 가 $s{\rm HH}^\ast(C^\vee;C^\vee)$ 와 $H(\widetilde{\rm Der}(TV,d))$ 와 연결됨을 증명하여 이중성을 확립한다.
• 기하학적 체인 위의 $A_\infty$-이중모듈러 및 $\infty$-내적 구조를 활용하여, 대수적 이중성과 채스-설리반 루프 곱을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소적으로 콘일포텐셜인 미분 등급 코알제브라에 대해, $HH^\ast(C^\vee; C^\vee)$ 와 $HH^\ast(\overline{\Omega}C; \overline{\Omega}C)$ 간 자연스러운 동형이 존재하는가?
• RQ2 이 동형은 게르스텐하버 대수로서의 사상으로서, 곱과 괄호 구조를 모두 유지하는가?
• RQ3 이 이중성은 특성 0에서 루프 공간 호모로지의 호드 분해에 대한 호모토피적 또는 대수적 설명을 제공하는가?
• RQ4 $\overline{\Omega}C$ 는 호크시드 코hom로지와 게르스텐하버 대수 구조에서 $C^\vee$ 와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 이 이중성은 채스-설리반 바탈린-빌코비츠 대수 구조를 통해 닫힌 온전한 다양체의 전체 루프 공간 호모로지로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 만약 $C$ 가 각 차수에서 유한 생성이면서, $C = C^{\geq 0}$ 이거나 $\overline{C} = \overline{C}_{\geq 2}$ 라면, $HH^\ast(C^\vee; C^\vee)$ 와 $HH^\ast(\overline{\Omega}C; \overline{\Omega}C)$ 간 자연스러운 게르스텐하버 대수 동형이 존재한다.
• 기저 체 $\ell\!k$ 가 특성 0이라면, $H(\mathcal{D})$ 는 준동형에 대해 자연스럽고, $H(C)$ 가 각 차수에서 유한 생성이며, $C = C^{\geq 0}$ 이고 $H^0(C) = \ell\!k$ 이거나 $\overline{C} = \overline{C}_{\geq 2}$ 라면 성립한다.
• 이 동형은 $s{\bf C}^\ast(\overline{\Omega}C; \overline{\Omega}C)$ 와 $\widetilde{\rm Der}(\overline{\Omega}C)$ 간의 준동형으로서 실현되며, 마찬가지로 $C^\vee$ 에 대해서도 동일하다. 이는 호크시드 코homology를 자유 모델 위의 유도자와 연결한다.
• 확장된 리 대수 $\widetilde{\rm Der}A$ 는 호크시드 코hom로지와 $A_\infty$-코알제브라 코hom로지 사이의 다리 역할을 하며, $s{\bf C}^\ast(A;A) \simeq \widetilde{\rm Der}A \simeq {\bf C}_\infty^\ast(\ell\!k \oplus sV; \ell\!k \oplus sV)$ 라는 동치를 가진다.
• 이 이중성은 특성 0에서 닫힌 온전한 다양체 $M$ 의 루프 공간 호모로지 $\mathbb{H}_\ast(M^{S^1})$ 에 대한 호드 분해를 가능하게 하며, 채스-설리반 바탈린-빌코비츠 대수 구조를 통해 실현된다.
• 이 구성은 기하학적 체인 위의 $A_\infty$-이중모듈러 및 $\infty$-내적 구조와 호환되며, 루프 곱과 괄호의 대수적 기원을 확인한다.