[논문 리뷰] Duality Structure, Asymptotic analysis and Emergent Fractal sets

Dhurjati Prasad Datta, Soma Sarkar|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 12.

Complex Systems and Time Series Analysis인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 실수 해석학을 복잡하고 미분 불가능한 시스템을 모델링하기 위해 실수선의 비아르키메데스적 확장을 통해 확장하는 점점 다가가는 분석에서 이중성 구조를 도입한다. 이는 힘의 법칙에 따른 파동 감쇠와 칸토어 유형 프랙탈에서의 미분 가능성 등이 자연스럽게 이중성에서 유래됨을 보여주며, 물리학, 생물학 및 금융 분야에서 복잡한 시스템을 모델링하는 데 새로운 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

A new, extended nonlinear framework of the ordinary real analysis incorporating a novel concept of {\em duality structure} and its applications into various nonlinear dynamical problems is presented. The duality structure is an asymptotic property that should affect the late time asymptotic behaviour of a nonlinear dynamical system in a nontrivial way leading naturally to signatures generic to a complex system. We argue that the present formalism would offer a natural framework to understand the abundance of complex systems in natural, biological, financial and related problems. We show that the power law attenuation of a dispersive, lossy wave equation, conventionally deduced from fractional calculus techniques, could actually arise from the present asymptotic duality structure. Differentiability on a Cantor type fractal set is also formulated.

연구 동기 및 목표

• 비선형 시스템의 후기 행동에 영향을 주는 이중성 구조를 비선형 해석학의 새로운 프레임워크로 통합하는 것.
• 난류 흐름, 혼돈 궤도, 금융 시계열과 같은 복잡한 시스템을 기술하는 데 있어 표준 실수 해석학의 한계를 해결하는 것.
• 칸토어 집합과 같은 프랙탈 집합에서 이중성 불변 비선형 실수선 확장을 통해 미분 가능성을 정의하는 것.
• 일반적으로 분수 미적분학을 통해 도출되는 힘의 법칙에 따른 파동 감쇠가, 분수 도함수를 요구하지 않고도 제안된 이중성 구조에서 자연스럽게 유도됨을 보여주는 것.
• 연속적이지만 미분 불가능한 함수에 대해 적용 가능한 이중성 불변 점프 미분 계산법을 수립하는 것.

제안 방법

• 표준 르베그 측도가 소멸하는 동안에도 임의로 작은 이웃 영역에서 항상 0이 아닌 값을 유지하는 이중성 불변의 점점 다가가는 가시성 척도를 도입한다.
• 0 < |x| < 1 이고 s > 0 인 경우에 대해 변환 x ↦ X̃⁻¹ = |x|⁻ˢ 를 포함하는 비아르키메데스적 확장을 통해 실수선 ℝ 를 구조화되고 부드러운 실수선 시스템 ℝ* 로 확장한다.
• 칸토어 집합과 같은 프랙탈 구성에서의 간극을 감안하여 측도 함수의 연속성을 보장하기 위해 기본 선택 원칙을 적용한다.
• 자기 유사성과 스케일 재조정을 통해 0의 연장선에서 스케일 불변 미분방정식 dfc(X)/dX = 1 을 유도하여 칸토어 계단 함수를 도출한다.
• 변형된 측도 dX(x) 하에서 일반 도함수와 동일하게 작용하는 점프 도함수 DJ 를 정의함으로써, 프랙탈 공간에서의 리만-스틸티jes 적분을 가능하게 한다.
• 칸토어 집합의 특성 함수 χC 를 사용한 점프 미분 방정식의 형태인 DJy = χC(x)f(x,y) 를 통해 프랙탈에서의 1차 미분방정식을 모델링한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점점 다가가는 분석에서 이중성 구조는 비선형 역학계에서 복잡한 시스템의 비자명한 특징을 어떻게 유도할 수 있는가?
• RQ2 산산이 흩어지는 손실이 있는 매질에서 힘의 법칙에 따른 파동 감쇠는 분수 미적분학 없이도 점점 다가가는 이중성 구조를 통해 유도될 수 있는가?
• RQ3 칸토어 집합처럼 곳곳이 빈약하고 측도가 0인 프랙탈 집합에서 일반화된 미적분학 프레임워크 내에서 어떻게 미분 가능성을 정의할 수 있는가?
• RQ4 이중성 불변의 가시성 척도는 실수선의 비아르키메데스적 확장을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 프랙탈에서의 점프 미분 계산법은 변형된 측도 dX(x) 를 통해 표준 미적분학과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 이중성 구조는 실수선 ℝ 의 비아르키메데스적 확장인 ℝ* 를 유도하며, 이중성 불변의 가시성 척도가 점을 둘러싼 임의로 작은 이웃 영역에서도 비영인 측도를 유지한다.
• 일반적으로 분수 미적분학을 통해 도출되는 힘의 법칙에 따른 파동 감쇠는 분수 도함수가 필요 없이 점점 다가가는 이중성 구조에서 자연스럽게 나타남을 보여준다.
• 칸토어 집합에서의 미분 가능성은 점프 도함수 DJ 를 통해 정의되며, 이는 변형된 측도 dX(x) 하에서 일반 도함수와 동일하게 작용하여 프랙탈에서의 일반화된 미적분학을 가능하게 한다.
• 칸토어 계단 함수 fc(X) 는 0의 연장선에서 스케일 불변 방정식 dfc(X)/dX = 1 을 만족하며, 하우스도르프 차원 s = log 2 / log 3 이다.
• 점프 미분 방정식 DJy = χC(x)f(x,y) 는 프랙탈 집합에서만 변화하는 시스템을 모델링하며, 재규격화된 변수 X 에서는 일반 미분방정식과 동치가 된다.
• 변형된 측도 dX(x) 를 통해 리만-스틸티제스 적분이 프랙탈 공간에서 가능해지며, 이는 불규칙한 집합으로 표준 적분 이론을 일반화한다.