[논문 리뷰] Duality theory for Markov processes: Part 1

R. K. Getoor|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 11.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고정된 과잉 측도에 대해 보렐 우측 연속 프로세스에 대한 이중성 이론을 수립하며, 고전적 이중성의 범위를 오른쪽 연속 강마르코프 과정의 프레임워크를 초월해 왼쪽 연속 중간 마르코프 이중 프로세스를 확장한다. 주요 기여는 선택적 공예기호 동일한 랜덤 측도와 $ m $-예외 집합을 측도하지 않는 상태 공간 위의 $\sigma$-유한 측도 사이의 대응 관계를, 정교한 측도 이론 기법과 마이어의 완전성 정리에 의해 증명하는 것이다.

ABSTRACT

This is the first part of a possible monograph on the duality of Markov processes. It contains a proof of Fitzsimmons' existence theorem of a moderate Markov dual process relative to an excessive measure, m, together with the necessary preliminary material. Then this is applied to prove the correspondence between optional copredictable homogenous random measures and sigma finite measures not charging m-exceptional sets again following Fitzsimmons. The second part which may never be written would deal with duality proper including results from, but not limited to, my joint paper with P. J. Fitzsimmons"Potential Theory of Moderate Markov Dual Processes" which appeared in Potential Anal.(2009) 31:275-310. Complete proofs of all results not appearing in standard books are given with the one exception of Dellacherie's result characterizing semipolar sets.

연구 동기 및 목표

• 최소한의 가정 하에 보렐 오른쪽 연속 프로세스에 대한 일반적인 이중성 이론을 개발하여, 기존의 강마르코프 과정 프레임워크를 초월한다.
• 오른쪽 연속이자 강마르코프가 아닌 왼쪽 연속 중간 마르코프 이중 프로세스 $\hat{X}$ 를 구성한다.
• 선택적 공예기호 동일한 랜덤 측도와 $ m $-예외 집합을 측도하지 않는 상태 공간 위의 $\sigma$-유한 측도 사이의 대응 관계를 확립한다.
• 과잉 측도 $ m $ 가 유한하지 않을 경우 발생하는 기술적 측도 이론적 과제—특히 투사 정의 및 시간 반전 처리 문제—를 해결한다.
• 특히 공예기호 및 선택적 투사의 존재성에 대한 기초 결과를 완전하고 자가 포함된 증명을 제공한다. 이는 델라체리-마이어 및 마이어의 확률과정 일반 이론에서 유도된 고급 도구를 사용한다.

제안 방법

• 보렐 오른쪽 연속 프로세스 $ X $ 와 과잉 측도 $ m $ 에 대응하는 쿠즈네цов 프로세스 $ (Y, Q_m) $ 를 사용하며, 최대 확장 $ Y^* $ 를 통해 강마르코프 성질을 탄생 시간 $ \alpha $ 에까지 연장한다.
• 선택적 및 공예기호 과정의 일반 이론을 적용하여, $ Q_m $ 가 유한하지 않더라도 선택적 및 공예기호 투사를 정의하고 구성한다.
• 시간 반전 기법을 활용하여 예측 가능 투사를 공예기호 투사로 유도함으로써 이중 프로세스 구성과의 호환성을 확보한다.
• 마이어의 완전성 정리 [M74] (정리 5.27로 기술됨) 를 사용하여 선택적 공예기호 동일한 랜덤 측도에 대해 '매우 좋은' 버전을 구성한다.
• 푸비니 유사 추론 및 적분 함수열의 경로별 분석을 통해 $ P^m $ 하에서 프로세스의 불분명함이 없음을 증명한다. 특히 적분 함수열 $ A $ 와 그 수정형 $ L $ 에 대해 적용한다.
• 기초 측도 이론 결과에 대해 델라체리-마이어 [DM] 과 기토르 [G] 를 정확히 참조하며, 타당하지 않은 경우—예를 들어 탄생 시간에 대한 최대 확장—에 대해 원천 증명을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 과잉 측도 $ m $ 에 대해 보렐 오른쪽 연속 프로세스에 대한 이중성 이론을 개발할 수 있는가? 특히 이중 프로세스가 오른쪽 연속이거나 강마르코프가 아닐 경우에도 가능한가?
• RQ2 측도 $ Q_m $ 가 유한하지 않을 경우, 특히 $ Q_m $ 가 $\sigma$-유한하나 유한하지 않은 경우에 선택적 및 공예기호 투사를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 선택적 공예기호 동일한 랜덤 측도와 $ m $-예외 집합을 측도하지 않는 상태 공간 위의 $\sigma$-유한 측도 사이의 정확한 대응 관계는 무엇인가?
• RQ4 일반적인 가정 하에 동일한 랜덤 측도에 대해 '매우 좋은' 버전의 존재성을 어떻게 보장할 수 있으며, 마이어의 완전성 정리는 이 과정에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 강마르코프 성질을 탄생 시간 $ \alpha $ 에까지 어떻게 확장할 수 있으며, 왜 최대 확장 $ Y^* $ 가 이중성 구성에 필수적인가?

주요 결과

• 이중 프로세스 $ \hat{X} $ 가 존재하며, 이는 오른쪽 연속이자 강마르코프가 아닌 왼쪽 연속 중간 마르코프 프로세스이다. 고전적 이중성에서 이중 프로세스가 오른쪽 연속이자 강마르코프임을 가정하는 것과 다르다.
• 쿠즈네цов 프로세스 $ (Y, Q_m) $ 는 탄생 시간 $ \alpha $ 에서도 강마르코프 성질을 유지하는 최대 확장 $ Y^* $ 를 갖는다. 이는 이중성 구성에 있어 핵심적이다.
• $ Q_m $ 가 유한하지 않더라도 선택적 및 공예기호 투사가 존재하며, 시간 반전 및 예측 가능 투사의 정교한 구성 기법을 통해 이를 확보한다.
• 기초적인 대응 관계가 확립된다: 모든 선택적 공예기호 동일한 랜덤 측도는 $ m $-예외 집합을 측도하지 않는 유일한 상태 공간 위의 $\sigma$-유한 측도로부터 유래한다.
• 마이어의 완전성 정리(정리 5.27)를 통해 동일한 랜덤 측도에 대해 '매우 좋은' 버전의 존재성이 증명되며, 이는 적절한 방식으로 응용되어 적분 함수열의 정규 버전을 보장한다.
• 적분 함수열 $ A $ 는 $ \tilde{A} $, $ U $, $ H $ 를 포함하는 구성에 의해, 정리 5.28에서 요구하는 성질을 만족하는 프로세스 $ L $ 과 불분명하지 않음을 보였다. 이 경우 $ P^m $ 하에서 $ U = V $ 거의 확실히 성립한다.