[논문 리뷰] Duality theory for nonergodic actions

Sergey Neshveyev|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 25.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 16인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 컴팩트 양자군의 비에르고딕 작용에 대해 약한 유니터리 텐서 함자(weak unitary tensor functors)를 도입함으로써 이중성 이론을 수립한다. 이 함자는 표현 범주 RepG에서 C*-대체물 범주로의 사상으로, 이러한 함자가 G의 모든 작용을 분류함을 보이며 이는 이전의 에르고딕 작용에 대한 결과를 일반화한다. 또한 이 구성은 이중 작용형 대수와 2-코호몰로지에 의한 변형(deformations)을 통해 이산 양자군 위에서의 작용과 관련된다.

ABSTRACT

Generalizing work by Pinzari and Roberts, we characterize actions of a compact quantum group G on C*-algebras in terms of what we call weak unitary tensor functors from Rep G into categories of C*-correspondences. We discuss the relation of our construction of a C*-algebra from a functor to some well-known crossed product type constructions, such as cross-sectional algebras of Fell bundles and crossed products by Hilbert bimodules. We also relate our setting to recent work of De Commer and Yamashita by showing that any object in a module C*-category over Rep G produces a weak unitary tensor functor, and, as a consequence, actions can also be described in terms of (Rep G)-module C*-categories. As an application we discuss deformations of C*-algebras by cocycles on discrete quantum groups.

연구 동기 및 목표

• 컴팩트 양자군의 모든 작용을 포함하여 에르고딕 작용을 초월한 이중성 이론을 확장하기.
• 컴팩트 양자군 G의 작용을 RepG에서 C*-대체물 범주로의 함수로 특성화하기.
• 범주적 기술이 기존의 크로스드 프로덕트 구성(예: 펠 뱅들 크로스세션 대수와 힐베르트 이중모듈러 크로스프로덕트)과 어떻게 관련되는지 밝히기.
• RepG 위의 모듈러 C*-범주가 De Commer와 Yamashita의 결과를 일반화하는 방식으로 작용을 등가적으로 묘사할 수 있음을 보여주기.
• 이 틀을 사용하여 이산 양자군 위의 2-코호몰로지에 의한 C*-대수의 변형을 구성하고 분류하기.

제안 방법

• RepG에서 C*-대체물 범주로의 약한 유니터리 텐서 함수의 개념을 도입한다.
• Woronowicz의 재구성 방법을 일반화하여 이러한 함수로부터 C*-대수를 구성한다. 비수반 가능 맵(non-adjointable maps)을 신중히 다룬다.
• 유도된 대수가 G-작용을 지닌다는 것을 보이며, 이 구성이 알려진 크로스드 프로덕트 유형 대수와 호환됨을 보여준다.
• RepG-모듈러 C*-범주에 속한 임의의 대상이 함수 Mor(M, M⊗·)를 통해 약한 유니터리 텐서 함수로 이끌어짐을 보인다.
• 약한 유니터리 텐서 함수의 범주와 고정된 생성 대상을 가진 RepG-모듈러 C*-범주의 범주 간의 카테고리 동치를 수립한다.
• 이중 이산 양자군 위의 2-코호몰로지에 의해 유도되는 유니터리 모노이드 동치를 사용하여 변형된 대수와 변형되지 않은 대수를 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컴팩트 양자군 G의 작용을 오직 그 표현 범주 RepG만을 사용하여 어떻게 완전히 특성화할 수 있는가?
• RQ2 비에르고딕 작용의 배경이 되는 범주적 구조는 무엇이며, 이는 에르고딕 작용과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 RepG에서 CorrA로의 약한 유니터리 텐서 함수는 C*-대수 A 위의 G-작용과 어떻게 대응되는가?
• RQ4 RepG 위의 모듈러 C*-범주는 G-작용의 다른 등가적 묘사로 어떻게 기능하는가?
• RQ5 범주적 틀을 사용하여 이산 양자군 위의 2-코호몰로지에 의한 C*-대수의 변형을 구성하고 분류할 수 있는가?

주요 결과

• 컴팩트 양자군 G의 작용은 C*-대수 A 위의 C*-대체물 범주로의 약한 유니터리 텐서 함수와 자연스럽게 일대일 대응된다.
• 약한 유니터리 텐서 함수로부터 유도된 C*-대수의 구성은 기존의 크로스드 프로덕트 구성(예: 펠 뱅들 크로스세션 대수와 힐베르트 이중모듈러 크로스프로덕트)을 일반화한다.
• RepG-모듈러 C*-범주에 속한 임의의 대상은 자연스럽게 약한 유니터리 텐서 함수로 이끌어지며, 이는 모듈러 범주와 함수 사이의 이중성 관계를 수립한다.
• 약한 유니터리 텐서 함수의 범주는 고정된 생성 대상을 가진 RepG-모듈러 C*-범주의 범주와 동치이다.
• 이 틀을 통해 이산 양자군 위의 2-코호몰로지에 의한 C*-대수의 변형이 자연스럽게 유도되며, 변형된 대수는 코호몰로지 토글을 통한 크로스프로덕트로 표현된다.
• 변형된 대수의 *-대수 구조와 유일한 C*-완비화는 함수적 구성 과정을 통해 유지되며, 감소된 변형된 양자군의 작용은 유일하게 결정된다.