[논문 리뷰] Dwell-time conditions for robust stability of impulsive systems

Sergey Dashkovskiy, Andrii Mironchenko|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 15.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 리아푸노프 함수를 사용하여 충격 시스템의 입력-상태 안정성(ISS)을 위한 체류시간 조건을 수립한다. 일반적인 ISS 리아푸노프 함수가 존재할 경우 비선형 고정 체류시간 조건 하에서 ISS가 보장되며, 지수형 ISS 리아푸노프 함수의 경우 일반화된 평균 체류시간(gADT) 조건 하에서 균일한 ISS가 성립함을 증명한다. 이는 이전 결과를 지수형이 아닌 경우로 확장하여 상호연결된 시스템에 대한 더 넓은 적용 가능성을 제공한다.

ABSTRACT

We prove that impulsive systems, which possess an ISS Lyapunov function, are ISS for impulse time sequences, which satisfy the fixed dwell-time condition. If the ISS Lyapunov function is the exponential one, we provide stronger result, which guarantees uniform ISS of the whole system over sequences of impulse times, which satisfy the generalized average dwell-time condition.

연구 동기 및 목표

• 기존의 지수형 리아푸노프 함수를 초월하여 충격 시스템의 ISS를 위한 체류시간 조건을 확장하기 위해.
• 일반적인 ISS 리아푸노프 함수를 갖는 시스템에 대해 비선형 고정 체류시간(FDT) 조건 하에서 ISS를 보장하는 충분조건을 수립하기 위해.
• 지수형 ISS 리아푸노프 함수를 갖는 시스템에 대해 평균 체류시간(ADT) 조건을 일반화된 평균 체류시간(gADT) 조건으로 일반화하기 위해.
• 소형 이득 정리가 비지수형 ISS 리아푸노프 함수를 도출할 수 있는 상호연결된 충격 시스템에 적용 가능한 프레임워크를 제공하기 위해.
• 반례 분석을 통해 제안된 체류시간 조건의 날카로움(tightness)을 입증하기 위해.

제안 방법

• 연속 흐름 기간 동안 $ \dot{V} \leq -cV $ 를 만족하는 리아푸노프 함수 $ V $ 와 충격 시점에서 $ V(x(t)) \leq e^{-d}V(x^-(t)) $ 를 만족한다.
• 함수 $ h \in \mathcal{L} $ 를 통한 비선형 고정 체류시간 조건을 도입하여 $ N(t,s) \leq h(t-s) $ 를 만족한다. 여기서 $ N(t,s) $ 는 구간 $[s,t)$ 내의 충격 횟수를 세는 함수이다.
• 흐름 기간 동안의 지수 감쇠와 충격 시점에서의 감소를 고려하여 $ V(x(t)) $ 의 상한을 유도하여 $ V(x(t)) \leq h(t-s)V(x(s)) $ 를 도출한다.
• 비교 렘마 기법을 적용하여 상태 궤적을 $ \mathcal{KL} $-함수를 사용해 유계화함으로써 균일한 유계성을 확보한다.
• 시간에 따라 변화하는 감쇠율을 允허하는 일반화된 평균 체류시간(gADT) 조건을 도입하여 평균 체류시간 조건을 일반화한다.
• 지수형 ISS 리아푸노프 함수의 존재를 이용하여 gADT 조건 하에서 균일한 ISS를 증명하며, 초기 시간에 독립적인 안정성 추정치를 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ISS 리아푸노프 함수가 반드시 지수형이 아닐 경우, 체류시간 조건 하에서 충격 시스템의 ISS를 보장할 수 있는가?
• RQ2 일반적인 ISS 리아푸노프 함수를 갖는 시스템에 대해 ISS를 보장하는 가장 약한 체류시간 조건은 무엇인가?
• RQ3 비지수형 리아푸노프 함수를 수용하면서도 균일한 ISS를 유지할 수 있도록 평균 체류시간 조건을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ4 제안된 비선형 고정 체류시간 조건은 날카로운가? 즉, 이 조건을 위반하는 경우 어떤 시스템에서는 불안정이 발생하는가?
• RQ5 소형 이득 정리가 비지수형 ISS 리아푸노프 함수를 도출할 수 있는 상호연결된 충격 시스템으로 결과를 확장할 수 있는가?

주요 결과

• ISS 리아푸노프 함수의 존재는 $ N(t,s) \leq h(t-s) $ 를 만족하는 충격 시점 순서에 대해 ISS를 보장하며, 여기서 $ h \in \mathcal{L} $ 이다.
• 지수형 ISS 리아푸노프 함수를 갖는 시스템의 경우, 일반화된 평균 체류시간(gADT) 조건 하에서 균일한 ISS가 보장되며, 이는 이전 결과의 상수 $ h \equiv e^{\mu} $ 기반으로 한 결과를 확장한다.
• 비선형 고정 체류시간 조건은 날카로움을 보인다: 모든 이러한 $ h $ 에 대해 조건을 위반하는 순서가 존재할 경우, 그 순서에 대해 ISS가 성립하지 않는 시스템이 존재한다.
• 상태 궤적의 유계성은 초기 시간에 독립적이며, 이는 균일한 ISS를 보장한다. 이때 $ \beta $ 와 $ \gamma $ 함수는 충격 순서에 영향을 받지 않는다.
• 증명 과정에서 $ t $ 가 충분히 클 경우 $ V(x(t)) \leq C_\lambda \max\{1,e^{-d}\} \chi(\|u\|_\infty) $ 를 확보하며, $ C_\lambda = \sup_{x \geq 0} h(x) < \infty $ 이므로 입력이 있을 경우에도 유계성이 보장된다.
• 원래의 평균 체류시간 조건보다 더 넓은 충격 순서의 클래스를 다룰 수 있도록, 논문은 [7]의 정리 1을 비상수 $ h $ 를 允허함으로써 일반화한다.