[논문 리뷰] Dwyer-Kan localization revisited

Vladimir Hinich|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 17.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 11인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 ∞-범주와 단순형 범주 맥락에서 Dwyer-Kan 국소화를 재고하며, 호모토피 일관성 신호와 보편 성질을 통한 ∞-국소화의 보편적 특성화를 수립한다. Quillen 쌍의 모델 범주가 그들의 기저 ∞-범주 위에서 쌍대 함수를 유도함을 증명하고, 오른쪽 대칭 모나드 국소화의 개념을 도입하여, 준동치에 관하여 복소의 ∞-범주에 대해 그 존재성을 증명한다.

ABSTRACT

A version of Dwyer-Kan localization in the context of infinity-categories and simplicial categories is presented. Some results of the classical papers by Dwyer and Kan on simplicial localization are reproven and generalized. It is proven that a Quillen pair of model categories gives rise to an adjoint pair of the DK localizations. Also a result on localization of a family of infinity-categories is proven. This, in particular, is applied to localization of symmetric monoidal infinity-categories, where some (partial) results are obtained.

연구 동기 및 목표

• 모델 범주 이론의 고전적 결과를 일반화하는 ∞-범주적 언어로 Dwyer-Kan 국소화의 보편적, ∞-범주적 공식화를 제공하는 것.
• 해결 방법에 관한 핵심 보조정리(lemma)를 사용하여, 모델 범주의 기저 ∞-범주에 관한 고전적 결과를 재증명하고 확장하는 것.
• Quillen 쌍의 모델 범주가 그 기저 ∞-범주 사이에서 쌍대 함수 쌍을 유도함을 일반화하는 것. 이는 Lurie의 단순형 Quillen 쌍 수렴에 대한 결과를 일반화한다.
• ∞-범주에서 오른쪽 대칭 모나드 국소화의 개념을 도입하고, 특히 대칭 모나드 모델 범주 맥락에서 연구하는 것.
• 교환 법칙을 갖는 모나드 국소화의 존재성을, 교환 법칙에 관하여 복소의 ∞-범주에 대해 증명하는 것.

제안 방법

• 호모토피 일관성 신호를 사용하여, 피브라ント 단순형 범주에 대한 Dwyer-Kan 국소화를 보편 성질을 통해 ∞-국소화와 연결한다.
• 핵심 보조정리(1.3.6)를 적용하여, 객체들에 대한 해석 조건을 만족하는 함자들이 DK 국소화임을 보여준다.
• 기저 ∞-범주를 코프라브라트-피브라트 객체의 부분범주에 대한 DK 국소화로 구성한다.
• 어떤 화살표 집합을 동치로 보내는 데 대해 보편적인 림프 대칭 모나드 국소화로 작용하는 림프 대칭 모나드 함자를 개념으로 도입한다.
• 국소화의 보편 성질을 ∞-범주의 가족에 적용하여, 특정 조건 하에서 호모토피 섬유와의 호환성을 보여준다.
• 복소의 경우에 오른쪽 SM 국소화의 존재성을 증명하기 위해, 국소화를 코프라브라트 복소의 포함에 대한 오른쪽 수반으로 실현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Dwyer-Kan 국소화는 보편 성질을 사용하여 ∞-범주 언어로 어떻게 재구성할 수 있는가?
• RQ2 모델 범주의 Quillen 쌍이 그 기저 ∞-범주 사이에서 쌍대 함수 쌍을 유도하는가?
• RQ3 대칭 모나드 모델 범주에서 그 기저 ∞-범주로의 전이가 대칭 모나드 설정에서 보편적 구성으로 기술될 수 있는가?
• RQ4 주어진 ∞-범주와 화살표 집합에 대해 오른쪽 대칭 모나드 국소화가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 교환 법칙에 관하여 복소의 ∞-범주가 복소의 범주에 대한 오른쪽 대칭 모나드 국소화인가?

주요 결과

• 모델 범주의 Quillen 쌍이 그 기저 ∞-범주 사이에서 쌍대 함수 쌍을 유도함을 증명하며, 이는 Lurie의 단순형 Quillen 수렴에 대한 결과를 일반화한다.
• 적당한 조건 하에서, 모델 범주의 기저 ∞-범주는 피브라트-코프라브라트 객체의 전체 부분범주에 대한 DK 국소화와 동치이다.
• 피브라트 단순형 범주의 하모틱 일관성 신호의 하모틱 국소화는 보편 성질로 정의된 ∞-국소화와 동치이다.
• 교환 법칙에 관하여 복소의 ∞-범주에 대해 오른쪽 SM 국소화가 존재하며, 이는 코프라브라트 복소의 부분범주에 대한 국소화로 실현된다.
• 국소화의 보편 성질은, 모든 림프 대칭 모나드 함자가 준동치를 동치로 보내는 경우, 국소화를 통해 유일하게 인자화됨을 보장한다.
• 대칭 모나드 모델 범주에 대해, 호모토피 범주로의 표준 국소화 함자는 림프 대칭 모나드이며, 코프라브라트 객체의 ∞-범주는 오른쪽 SM 국소화를 제공한다.