[논문 리뷰] Dynamic Delaunay tetrahedralizations and Voronoi tessellations in three dimensions

Gernot Schaller, Michael Meyer‐Hermann|arXiv (Cornell University)|2003. 02. 06.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 21인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 3차원 델로아인 테트라헤드랄리제이션과 그 이중체인 버로이 테세이션을 유지하기 위한 동적이고 운동학적 알고리즘을 제시한다. 삼차원 단체 구조를 사용하며, 새로운 정점 삭제 및 점 위치 탐색 기법을 도입하여 시간에 따라 변화하는 정점 위치와 정점 수의 변화를 고려한 강력한 델로아 삼각분할의 구축 및 유지가 가능하다. 이는 격자 기반 PDE 해법기 및 생물학적 시뮬레이션에 적용된다.

ABSTRACT

We describe the implementation of algorithms to construct and maintain three-dimensional dynamic Delaunay triangulations with kinetic vertices using a three-simplex data structure. The code is capable of constructing the geometric dual, the Voronoi or Dirichlet tessellation. Initially, a given list of points is triangulated. Time evolution of the triangulation is not only governed by kinetic vertices but also by a changing number of vertices. We use three-dimensional simplex flip algorithms, a stochastic visibility walk algorithm for point location and in addition, we propose a new simple method of deleting vertices from an existing three-dimensional Delaunay triangulation while maintaining the Delaunay property. The dual Dirichlet tessellation can be used to solve differential equations on an irregular grid, to define partitions in cell tissue simulations, for collision detection etc.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변화하는 정점 위치 조건 하에서 동적 3차원 델로아 삼각분할을 강력하게 유지하기 위한 알고리즘을 개발하는 것.
• 정점 수의 동적 변화를 지원하며, 델로아 성질을 유지하면서 효율적인 정점 삭제를 가능하게 하는 것.
• 과학 계산 및 시뮬레이션에 활용하기 위해 기하학적 이중체인 버로이 또는 디리클레 테세이션을 구성하는 것.
• 비정규 격자 해법기, 세포 조직 모델링 및 충돌 탐지에 실용적인 응용을 가능하게 하는 것.
• 삼차원 단체 구조 내에서 효율적인 점 위치 탐색 및 단체 뒤집기 연산을 통합하는 것.

제안 방법

• 알고리즘은 3차원에서 델로아 삼각분할을 표현하고 유지하기 위해 삼차원 단체 구조를 사용한다.
• 정점 이동 또는 삽입 후 델로아 조건을 복원하기 위해 3차원 단체 뒤집기 연산을 적용한다.
• 동적 삼각분할 내에서 효율적인 점 위치 탐색을 위해 확률적 가시성 워크 알고리즘을 사용한다.
• 정점 삭제를 위한 새로운 방법을 제안하여 제거 후에도 델로아 성질을 유지한다.
• 기하학적 이중체인 버로이 테세이션은 델로아 삼각분할의 이중체로 계산된다.
• 계산 중 정점의 시간 변화와 정점 수의 동적 변화를 지원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 운동하는 정점에 의해 시간이 지남에 따라 3차원 델로아 삼각분할을 어떻게 효율적으로 유지할 수 있는가?
• RQ2 델로아 성질을 유지하면서 3차원 델로아 삼각분할에서 정점을 효과적으로 삭제하는 방법은 무엇인가?
• RQ3 동적 3차원 델로아 삼각분할 내에서 점 위치 탐색을 어떻게 효율적으로 수행할 수 있는가?
• RQ4 동적 3차원 델로아 테트라헤드랄리제이션을 표현하고 업데이트하는 데 가장 효과적인 데이터 구조는 무엇인가?
• RQ5 동적 델로아 삼각분할의 이중체로서 버로이 테세이션을 어떻게 점진적으로 구성하고 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 정점 삭제 방법은 전체 재삼각분할이 필요 없이도 3차원 삼각분할에서 델로아 성질을 성공적으로 유지한다.
• 확률적 가시성 워크 알고리즘이 동적 3차원 델로아 삼각분할 내에서 효율적인 점 위치 탐색을 가능하게 한다.
• 삼차원 단체 구조는 운동하는 정점의 영향을 받는 삼각분할에 대한 강력하고 효율적인 업데이트를 지원한다.
• 알고리즘은 삽입 및 삭제를 포함한 정점 수의 동적 변화를 시간에 따라 변화하는 시뮬레이션 중에도 지원한다.
• 기하학적 이중체인 버로이 테세이션은 델로아 삼각분할과 함께 점진적으로 계산되고 유지될 수 있다.
• 이 프레임워크는 비정규 격자에서 미분방정식을 해결하고 생물학적 세포 조직을 모델링하는 데 실용적인 응용을 가능하게 한다.