[논문 리뷰] Dynamic Longest Common Substring in Polylogarithmic Time

Panagiotis Charalampopoulos, Paweł Gawrychowski외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 01.

Algorithms and Data Compression참고 문헌 31인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 편집 연산을 거치는 두 문자열의 가장 긴 공통 부분문자열(LCS)을 유지하는 동적 알고리즘을 제안하며, 높은 확률로 평균 갱신 시간 O(log⁷n)을 달성한다. 이 방법은 레이블이 부여된 이색 잎을 가진 동적 트리 구조와 문자열 파싱 일관성의 새로운 응용을 활용하여 이전의 ˜O(n²/³) 경계보다 크게 향상되었으며, 다항식 크기의 데이터 구조에 대해 near-optimal인 하한 Ω(log n / log log n)을 설정한다.

ABSTRACT

The longest common substring problem consists in finding a longest string that appears as a (contiguous) substring of two input strings. We consider the dynamic variant of this problem, in which we are to maintain two dynamic strings $S$ and $T$, each of length at most $n$, that undergo substitutions of letters, in order to be able to return a longest common substring after each substitution. Recently, Amir et al. [ESA 2019] presented a solution for this problem that needs only $ ilde{\mathcal{O}}(n^{2/3})$ time per update. This brought the challenge of determining whether there exists a faster solution with polylogarithmic update time, or (as is the case for other dynamic problems), we should expect a polynomial (conditional) lower bound. We answer this question by designing a significantly faster algorithm that processes each substitution in amortized $\log^{\mathcal{O}(1)} n$ time with high probability. Our solution relies on exploiting the local consistency of the parsing of a collection of dynamic strings due to Gawrychowski et al. [SODA 2018], and on maintaining two dynamic trees with labeled bicolored leaves, so that after each update we can report a pair of nodes, one from each tree, of maximum combined weight, which have at least one common leaf-descendant of each color. We complement this with a lower bound of $Ω(\log n/ \log\log n)$ for the update time of any polynomial-size data structure that maintains the LCS of two dynamic strings, and the same lower bound for the update time of any data structure of size $ ilde{\mathcal{O}}(n)$ that maintains the LCS of a static and a dynamic string. Both lower bounds hold even allowing amortization and randomization.

연구 동기 및 목표

• 편집 연산 하에서 평균 다항로그 시간 갱신 시간을 갖는 동적 데이터 구조를 설계하여 두 문자열의 가장 긴 공통 부분문자열(LCS)을 유지하는 것.
• 완전 동적 LCS 문제에서 다항로그 시간 갱신 시간이 달성 가능한지 여부에 대한 열린 문제를 해결하는 것.
• 조금씩의 갱신과 확률적 알고리즘을 허용하더라도, 동적 LCS 데이터 구조에 대해 날카로운 조건부 하한을 설정하는 것.
• 완전 동적 문자열 문제를 위한 PĂtrařscu의 lopsided set disjointness에서 butterfly reachability로의 감소를 확장하는 것.

제안 방법

• Gawrychowski 등(SODA 2018)의 문자열 파싱의 局소 일관성을 활용하여 동적 문자열 표현을 유지하는 것.
• 레이블이 부여된 이색 잎을 가진 두 개의 동적 트리를 유지하여 동적 문자열을 효율적으로 표현하고 갱신하는 것.
• 부품 기반 구조를 사용하여 부분문자열 매칭을 통한 가장 긴 공통 부분문자열의 활성화 및 쿼리 패턴을 인코딩하는 것.
• 동적 LCS 문제를 레이블이 부여된 트리에서 잎 쌍의 활성화로 감소시키며, LCS 길이는 경로 깊이와 레이블 일치로 대응하는 것.
• 예상 평균 갱신 시간을 최악의 경우 시간 복잡도로 변환하기 위해 크레딧 기반의 deamortization 기법을 적용하여 하한 분석을 위한 기초를 마련하는 것.
• PĂtrařscu의 lopsided set disjointness에서 butterfly reachability로의 감소를 확장하여 조건부 하한을 유도하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전 동적 가장 긴 공통 부분문자열 문제는 각 편집 연산당 다항로그 시간 갱신 시간으로 해결될 수 있는가?
• RQ2 조금씩의 갱신이나 확률적 알고리즘을 허용하더라도, 동적 LCS에 대해 다항로그 시간 갱신 시간을 배제하는 조건부 하한이 존재하는가?
• RQ3 동적 LCS 문제는 butterfly reachability와 같은 알려진 난이도 높은 문제로 감소시킬 수 있는가? 이를 통해 복잡도의 날카로운 경계를 확립할 수 있는가?
• RQ4 레이블이 부여된 이색 잎을 가진 동적 트리와 문자열 파싱 일관성을 사용하면 이전 방법보다 상당한 향상이 이루어지는가?

주요 결과

• 논문은 각 편집 연산당 평균 O(log⁷n) 시간 내에 가장 긴 공통 부분문자열을 유지하는 동적 알고리즘을 제시한다. 이는 높은 확률로 성립한다.
• 제안된 알고리즘은 이전의 ˜O(n²/³) 갱신 시간 경계를 초월하여 기하급수적 속도 향상을 달성한다.
• 두 동적 문자열의 LCS를 유지하는 다항식 크기의 데이터 구조에 대해 조건부 하한 Ω(log n / log log n)이 확립된다.
• 정적 문자열과 동적 문자열의 조합의 경우에도 이 하한은 유지되며, 조각 갱신과 Las Vegas 확률적 알고리즘 하에서도 성립한다.
• 이 하한은 PĂtrařscu의 lopsided set disjointness에서 butterfly reachability로의 감소를 새로운 방식으로 확장함으로써 도출된다.
• 결과적으로 제안된 알고리즘이 표준 복잡도 가정 하에 다항로그 요소의 오차 범위 내에서 거의 최적임을 보여준다.