[논문 리뷰] Dynamic Mean-LPM and Mean-CVaR Portfolio Optimization in Continuous-time

Jianjun Gao, Ke Zhou외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 14.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 26인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 하방 리스크 측도로 하방 부분 모멘트(LPM)와 조건부가치하한(CVaR)를 사용하여 연속시간 동적 포트폴리오 최적화 모델을 개발한다. 종료 시점의 자산 보유 수준 기준선을 도입함으로써 평균-하방 리스크 모델의 부적절한 설정 문제를 해결하고, 라그랑주 승수의 존재성과 유일성을 증명하며, 결정론적 기회 집합 하에서 해석적 해를 유도함으로써 해석 가능하고 영리한 리스크 인식 포트폴리오 배분을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Instead of controlling "symmetric" risks measured by central moments of investment return or terminal wealth, more and more portfolio models have shifted their focus to manage "asymmetric" downside risks that the investment return is below certain threshold. Among the existing downside risk measures, the lower-partial moments (LPM) and conditional value-at-risk (CVaR) are probably most promising. In this paper we investigate the dynamic mean-LPM and mean-CVaR portfolio optimization problems in continuous-time, while the current literature has only witnessed their static versions. Our contributions are two-fold, in both building up tractable formulations and deriving corresponding analytical solutions. By imposing a limit funding level on the terminal wealth, we conquer the ill-posedness exhibited in the class of mean-downside risk portfolio models. The limit funding level not only enables us to solve both dynamic mean-LPM and mean-CVaR portfolio optimization problems, but also offers a flexibility to tame the aggressiveness of the portfolio policies generated from such mean - downside risk models. More specifically, for a general market setting, we prove the existence and uniqueness of the Lagrangian multiplies, which is a key step in applying the martingale approach, and establish a theoretical foundation for developing efficient numerical solution approaches. Moreover, for situations where the opportunity set of the market setting is deterministic, we derive analytical portfolio policies for both dynamic mean-LPM and mean-CVaR formulations.

연구 동기 및 목표

• 종료 시점의 자산 보유 수준 기준선을 도입하여 동적 평균-하방 리스크 포트폴리오 모델의 부적절한 설정 문제를 해결한다.
• 마팅게일 방법을 사용하여 일반적인 세미마팅게일 가격 과정 하에서 동적 평균-LPM 및 평균-CVaR 최적화 문제를 해결하기 위한 이론적 기반을 구축한다.
• 일반적인 시장 설정 하에서 라그랑주 승수의 존재성과 유일성을 증명하여 수치적 해법 프레임워크를 가능하게 한다.
• 기회 집합이 결정론적일 경우, 동적 평균-LPM 및 평균-CVaR 수식에 대해 해석적 포트폴리오 정책을 도출한다.
• 자산 보유 수준 기준선 제약 조건을 통해 평균-하방 리스크 모델에서 발생하는 공격적인 포트폴리오 정책을 다스릴 수 있는 영리한 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 최적화 문제의 정규화와 부적절한 설정 방지를 위해 종료 시점의 자산 보유 수준 기준선을 도입한다.
• 일반적인 세미마팅게일 가격 과정 하에서 동적 포트폴리오 최적화에 마팅게일 방법을 적용한다.
• 라그랑주 이중성과 분리 초평면 정리(Seperating Hyperplane Theorem)를 사용하여 이중 승수의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 보조 변수를 사용하여 이중 문제를 설정하고 필요 최적성 조건을 도출한다.
• 결정론적 기회 집합 하에서 이중 문제를 명시적으로 해결하여 닫힌 형태의 포트폴리오 정책을 얻는다.
• 해결 과정에서 지표 함수를 포함하는 기대값을 계산하기 위해 정규분포의 모멘트 생성 함수를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 동적 평균-LPM 및 평균-CVaR 포트폴리오 최적화 문제는 연속시간에서 어떻게 설정할 수 있으며, 부적절한 설정이 발생하지 않도록 할 수 있는가?
• RQ2 종료 시점의 자산 보유 수준 기준선은 평균-하방 리스크 모델의 안정성과 정규화에 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 동적 평균-LPM 및 평균-CVaR 포트폴리오 문제에 대해 해석적 해를 도출할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ4 이중 수식에서의 라그랑주 승수는 어떻게 행동하며, 그 존재성과 유일성을 보장하는 요건은 무엇인가?
• RQ5 마팅게일 방법은 연속시간 설정에서 LPM 및 CVaR와 같은 하방 리스크 측도로 성공적으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 종료 시점의 자산 보유 수준 기준선 도입으로 평균-하방 리스크 모델에 내재된 부적절한 설정 문제를 해결하여 최적화가 잘 정의되게 한다.
• 저자들은 이중 수식에서 라그랑주 승수의 존재성과 유일성을 증명하였으며, 이는 마팅게일 방법을 적용하는 데 필수적이다.
• 기회 집합이 결정론적일 경우, 동적 평균-LPM 및 평균-CVaR 모델에 대해 해석적 포트폴리오 정책을 도출하였다.
• 이중 문제의 최적성 조건은 해가 원래 제약 조건을 만족함을 보장하여 이중성 접근의 타당성을 입증한다.
• 증명 과정에서 목적 함수에 대한 이중 승수는 반드시 양수여야 하며, 이는 열악하지 않은 해를 보장한다.
• 초평면 정리에 의한 볼록 집합의 분리 확인을 통해 최적 해는 탇합 집합의 상대 내부에 위치함을 확인하여 강력한 이중성의 타당성을 뒷받침한다.