[논문 리뷰] Dynamic mode decomposition for interconnected control systems

Byron Heersink, Michael A. Warren외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 09.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 24인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 네트워크 구조를 활용하여 상호연결된 제어 시스템을 모델링하기 위해 동적 모드 분해와 제어(DMDc)를 확장한 데이터 기반 방법인 Network DMDc를 소개한다. 시스템을 국소적 부분시스템으로 분해하고 연결된 구성 요소에만 집중함으로써 Network DMDc는 계산 비용을 감소시키고, 특히 희박한 연결성을 가진 대규모 시스템에서 선형 동역학을 더 정확하게 식별하는 데 기여한다.

ABSTRACT

Dynamic mode decomposition (DMD) is a data-driven technique used for capturing the dynamics of complex systems. DMD has been connected to spectral analysis of the Koopman operator, and essentially extracts spatial-temporal modes of the dynamics from an estimate of the Koopman operator obtained from data. Recent work of Proctor, Brunton, and Kutz has extended DMD and Koopman theory to accommodate systems with control inputs: dynamic mode decomposition with control (DMDc) and Koopman with inputs and control (KIC). In this paper, we introduce a technique, called Network dynamic mode decomposition with control, or Network DMDc, which extends the DMDc to interconnected, or networked, control systems. Additionally, we provide an adaptation of Koopman theory for networks as a context in which to perform this algorithm. The Network DMDc method carefully analyzes the dynamical relationships only between components in systems which are connected in the network structure. By focusing on these direct dynamical connections and cutting out computation for relationships between unconnected components, this process allows for improvements in computational intensity and accuracy.

연구 동기 및 목표

• 대규모 상호연결된 제어 시스템에 표준 DMDc를 적용할 때 발생하는 계산 비효율성과 수치적 불안정성을 해결하기 위해.
• 동역학 시스템의 고유한 네트워크 구조를 활용하여 모델 복잡성을 감소시키고 정확도를 향상시키는 방법을 개발하기 위해.
• 코프만 연산자 이론을 네트워크 시스템으로 확장하여 제안된 알고리즘의 이론적 기반을 마련하기 위해.
• 최소한의 데이터 요구 조건으로도 대규모 네트워크 시스템에 대해 효율적이고 병렬 처리 가능한 시스템 식별을 가능하게 하기 위해.
• 전역 DMDc 접근 방식에 비해 동적으로 연결된 구성 요소에만 집중할 경우 더 정확하고 계산 가능성이 높은 모델을 얻을 수 있음을 입증하기 위해.

제안 방법

• 해당 방법은 네트워크의 인접성 구조에 기반하여 네트워크 제어 시스템을 국소적 부분시스템으로 분해한다. 여기서 각 노드는 하나의 부분시스템을 나타낸다.
• 각 부분시스템에 대해 알고리즘은 상태와 제어 입력의 시계열 데이터를 사용하여 국소적 코프만 연산자 근사치를 추정하기 위해 DMDc를 적용한다.
• 국소 모델은 상태 및 제어 궤적에서 구성된 데이터 행렬을 사용하여 편미분을 통해 선형 동역학을 구한다.
• 상호작용이 없는 구성 요소 간의 계산을 피하므로 선형 대수 문제의 크기를 크게 줄인다.
• 최종 전역 모델은 국소 모델들을 조합하여 재구성되며, 네트워크 구조와 동역학적 의존성을 유지한다.
• 국소 코프만 연산자 근사치를 통합함으로써 이 방법은 선형 및 비선형 시스템 모두를 다룰 수 있도록 개선되었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 DMDc를 희박한 네트워크 구조를 가진 대규모 상호연결된 제어 시스템에 효율적으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 DMD 기반의 시스템 식별에서 네트워크 구조를 활용할 경우 계산적 이점과 정확도 향상은 무엇인가?
• RQ3 데이터가 제한되거나 노이즈가 있을 경우 국소화된 DMDc 접근 방식이 전역 DMDc보다 우월한가?
• RQ4 네트워크 구조는 시스템 식별 과정의 수치적 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 Network DMDc는 실시간 또는 분산 제어 응용 분야에 대해 얼마나 병렬 처리 가능하고 확장 가능한가?

주요 결과

• Network DMDc는 희박한 연결성을 가진 시스템에서 특히 두드러지게 표준 DMD 및 DMDc보다 선형 동역학을 더 잘 복원했다.
• 50개 노드와 간선 확률 0.05를 가진 에르되시-레니 랜덤 네트워크에서, 짧은 시뮬레이션 길이 조건에서도 Network DMDc는 DMD보다 유의미하게 낮은 평균 모델 오차를 기록했다.
• 데이터 행렬의 작은 특이값으로 인해 발생하는 수치적 불안정성 문제를 완화하였으며, 이는 표준 DMD에서 희귀한 조건의 편미분에 기인한 일반적인 문제이다.
• 연결된 구성 요소에만 집중함으로써 Network DMDc는 전역 DMDc에 비해 계산 부담을 줄이고 수치 조건을 향상시켰다.
• 알고리즘은 데이터 상관관계에 대해 강건성을 보였으며, 시뮬레이션 길이가 가장 큰 국소 부분시스템의 차원과 일치할 때에도 효과적이었다.
• 이 방법은 자연스럽게 병렬 계산을 지원하여 대규모 네트워크 시스템에 대한 확장 가능한 배포를 가능하게 했다.