[논문 리뷰] Dynamic mode decomposition with control

Joshua L. Proctor, Steven L. Brunton외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 22.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 24인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 제어 입력과 내재된 역학을 분리하여 고차원 시스템의 저랭크 모델을 추출하는 데이터 기반 방법인 제어를 고려한 동적 모드 분해(DMDc)를 소개한다. 상태와 제어 입력 샘플을 활용함으로써 DMDc는 미리 정의된 운동 방정식이 없이도 정확한 입력-출력 모델링과 시스템 식별을 가능하게 하며, 제어가 가해진 시스템에서 기존 DMD보다 크게 향상된 성능을 보인다.

ABSTRACT

We develop a new method which extends Dynamic Mode Decomposition (DMD) to incorporate the effect of control to extract low-order models from high-dimensional, complex systems. DMD finds spatial-temporal coherent modes, connects local-linear analysis to nonlinear operator theory, and provides an equation-free architecture which is compatible with compressive sensing. In actuated systems, DMD is incapable of producing an input-output model; moreover, the dynamics and the modes will be corrupted by external forcing. Our new method, Dynamic Mode Decomposition with control (DMDc), capitalizes on all of the advantages of DMD and provides the additional innovation of being able to disambiguate between the underlying dynamics and the effects of actuation, resulting in accurate input-output models. The method is data-driven in that it does not require knowledge of the underlying governing equations, only snapshots of state and actuation data from historical, experimental, or black-box simulations. We demonstrate the method on high-dimensional dynamical systems, including a model with relevance to the analysis of infectious disease data with mass vaccination (actuation).

연구 동기 및 목표

• 제어 입력이 추출된 역학을 오염시키는 문제를 해결하기 위해 기존의 동적 모드 분해(DMD)의 한계를 보완하는 것.
• 고차원 시스템에서 내재된 시스템 역학과 외부 제어 효과를 분리하는 데이터 기반 방법을 개발하는 것.
• 실험 데이터, 역사적 데이터 또는 블랙박스 시뮬레이션 데이터로부터 정확한 입력-출력 모델을 구성하기 위한 강건하고 방정정식 기반의 프레임워크를 제공하는 것.
• 전체 차원 제어가 계산적으로 비용이 많이 들기 때문에 복잡한 시스템에 대해 저차원 모델링과 제어기 설계를 가능하게 하는 것.
• 기존의 시스템 식별 방법(예: ERA, OKID)보다 나아가 풍부한 비펄스 제어 입력을 가진 시스템으로 DMD의 능력을 확장하는 것.

제안 방법

• DMDc는 상태 샘플과 제어 입력 궤적을 조합하여 전체 시스템 행동을 기록하는 증강된 데이터 행렬을 구축한다.
• 증강된 데이터 행렬에 대해 SVD를 이용한 저랭크 근사법을 적용하여 주요 역학 모드와 제어 효과를 추출한다.
• 수정된 DMD 알고리즘을 사용하여 A(역학), B(제어 영향), C(관측 매핑)의 행렬 형태로 저차원 시스템 모델을 계산한다.
• 행렬 B는 전체 제어 역사를 고려한 최소 제곱법을 통해 직접 데이터로부터 계산되며, 노이즈에 대한 강건성을 향상시킨다.
• DMD와 쿠퍼만 연산자 이론 간의 연결을 활용하여 비선형 시스템에서 시공간적 일관된 구조를 식별한다.
• 전체 시스템 방정식을 풀지 않는 샘플 기반 접근 방식을 사용함으로써 블랙박스 또는 실험 데이터에 적용 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 외부 제어 입력이 존재하는 시스템을 다룰 수 있도록 DMD를 확장할 수 있을까? 이때 내재된 역학의 정확한 모델링이 유지되는가?
• RQ2 고차원의 데이터 기반 모델에서 제어 입력의 영향을 내재된 시스템 역학에서 분리할 수 있는가?
• RQ3 노이즈에 대한 강건성과 입력 신호의 유연성 측면에서 DMDc는 기존의 시스템 식별 방법(예: ERA, OKID)보다 어느 정도 뛰어나게 성능을 발휘하는가?
• RQ4 DMDc는 백신 접종 데이터가 포함된 전염병 모델과 같은 실제 고차원 시스템에 효과적으로 적용될 수 있는가?
• RQ5 복잡한 시스템에서 제한적 또는 희박한 측정값으로부터 저랭크 입력-출력 모델을 식별하는 데 DMDc의 성능은 어떠한가?

주요 결과

• DMDc는 내재된 역학과 제어 효과를 성공적으로 분리하여 외부 힘이 작용하는 상황에서도 정확한 입력-출력 모델링이 가능하다.
• 특히 풍부한 입력 신호를 가진 시스템에서 ERA나 OKID와 같은 시스템 식별 기법에 비해 강건하고 계산 비용이 적은 대안을 제공한다.
• 특히 더 긴 입력 역사를 사용할 경우, ERA에 비해 제어 영향 행렬 B 계산에 더 뛰어난 노이즈 내성 성능을 보였다.
• 기본 운동 방정식을 알지 못해도 고차원 시스템의 정확한 저차원 모델링이 가능하다.
• 전염병 사례 연구에서 DMDc는 백신 접종(제어)이 전염병 확산에 미치는 영향을 효과적으로 모델링했으며, 역사적 데이터로부터 의미 있는 역학을 추출했다.
• 시스템 식별 기법과 유사한 정확도를 달성하면서도 더 뛰어난 유연성과 확장성을 보였으며, 특히 복잡하거나 비펄스 제어 입력을 가진 시스템에 있어 유리하다.