[논문 리뷰] Dynamic Optimization with Convergence Guarantees

Martin Neuenhofen, Eric C. Kerrigan|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 09.

Spacecraft Dynamics and Control참고 문헌 44인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비선형 미분 및 부등식 제약 조건을 가진 동적 최적 제어 문제를 해결하기 위한 새로운 직접 전사 방법을 제안한다. 등식 제약 조건에는 적분 평방 페널티를, 부등식 제약 조건에는 로그-바리어 함수를 사용한다. 약한 가정—유계성과 리프시츠 연속성—하에 진짜 해로의 수렴을 증명하였으며, 유일성, 미분 가능성, 제약 조건 충족 조건을 요구하지 않는다. 기존의 콜로케이션 방법과 비교해 더 뛰어난 수렴 행동을 보인다.

ABSTRACT

We present a novel direct transcription method to solve optimization problems subject to nonlinear differential and inequality constraints. We prove convergence of our numerical method under reasonably mild assumptions: boundedness and Lipschitz-continuity of the problem-defining functions. We do not require uniqueness, differentiability or constraint qualifications to hold and we avoid the use of Lagrange multipliers. Our approach differs fundamentally from well-known methods based on collocation; we follow a penalty-barrier approach, where we compute integral quadratic penalties on the equality path constraints and point constraints, and integral log-barriers on the inequality path constraints. The resulting penalty-barrier functional can be minimized numerically using finite elements and penalty-barrier interior-point nonlinear programming solvers. Order of convergence results are derived, even if components of the solution are discontinuous. We also present numerical results to compare our method against collocation methods. The numerical results show that for the same degree and mesh, the computational cost is similar, but that the new method can achieve a smaller error and converges in cases where collocation methods fail.

연구 동기 및 목표

• 비선형 미분 및 부등식 제약 조건을 가진 무한차원 최적 제어 문제를 수치적으로 안정적이고 엄밀하게 수렴하는 방법을 개발한다.
• 기존 방법에서 흔히 요구하는 라그랑주 승수, 제약 조건 충족 조건, 또는 미분 가능성 가정에 의존하지 않도록 한다.
• 비용 함수 및 제약 조건 함수의 유계성과 리프시츠 연속성이라는 최소한의 가정 하에 엄밀한 수렴 보장을 제공한다.
• 특히 강성 또는 비연속 문제에서 발생하는 기존 콜로케이션 기반 방법의 알려진 실패 원인을 극복한다.
• 해의 성분이 비연속일 경우에도 수렴 차수 결과를 확립한다.

제안 방법

• 등식 경로 제약 조건을 강제하기 위해 적분 평방 페널티를 사용하고, 부등식 경로 제약 조건을 다루기 위해 적분 로그-바리어 함수를 사용한다.
• 유한 요소 이산화를 통해 무한차원 최적 제어 문제를 유한차원 비선형 계획 문제로 변환한다.
• 페널티-바리어 기능은 내부점 비선형 계획 소프트웨어를 사용해 최소화되며, 라그랑주 승수의 필요성을 피한다.
• 해의 후보자에 대해 힐버트 공간 프레임워크를 사용하여 상태 변수의 연속성과 제어의 적분 가능성을 보장한다.
• 해가 존재하고 비용 및 제약 조건 함수가 유계성과 리프시츠 연속성을 만족하는 약한 가정 하에 수렴이 증명된다.
• 비미분 가능하고 비유일한 해를 다룰 수 있도록 설계되어 실제 적용에 있어 강건성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 직접 전사 방법이 비선형 동적 최적화 문제를 해결할 때, 미분 가능성이나 제약 조건 충족 조건을 요구하지 않고 진짜 해로 수렴할 수 있는가?
• RQ2 적분 페널티와 로그-바리어를 사용하는 페널티-바리어 접근법이 어려운 경우 기존 콜로케이션 방법보다 더 나은 수렴 행동을 보일 수 있는가?
• RQ3 비용 함수에 대한 유계성과 리프시츠 연속성 가정만으로도 수렴을 엄밀히 증명할 수 있는가?
• RQ4 기존 콜로케이션 방법이 수렴하지 못하는 문제에 대해 이 방법은 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ5 특히 해의 성분이 비연속일 경우, 이 방법의 수렴 차수는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 해가 존재하고 문제 함수가 유계성과 리프시츠 연속성을 만족하는 약한 가정 하에, 진짜 최적 해로의 수렴이 증명된다. 유일성이나 제약 조건 충족 조건이 필요하지 않다.
• 해당 방법은 레지오-가우스-라다우 콜로케이션 방법이 실패하는 경우에도 수렴을 달성한다. 특히 임의의 차수를 가진 매개변수 문제에 대해서도 마찬가지다.
• 같은 메쉬와 다항식 차수에서 계산 비용은 콜로케이션 방법과 유사하지만, 새로운 방법은 더 작은 오차를 달성한다.
• 해의 성분이 비연속일 경우에도 이 방법은 수렴 차수 결과를 제공한다. 이는 많은 기존 방법이 실패하는 상황이다.
• 페널티-바리어 기능이 해 노름에 대해 리프시츠 연속임을 입증하여 수치적 안정성을 뒷받침한다.
• 로그-바리어 항은 $\mathcal{O}(\tau^{1-\zeta})$로 유계이며, 장벽 매개변수 $\tau \to 0$일 때도 장벽 항이 잘 행동함을 보장한다.