[논문 리뷰] Dynamic Pricing with Demand Covariates

Sheng Qiang, Mohsen Bayati|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 25.

Advanced Bandit Algorithms Research참고 문헌 24인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 동적 가격 설정에서 탐색을 명시적으로 시행하지 않더라도, 수요 공변량을 포함한 탐욕적 반복 최소제곱법(GILS)이 점차적으로 최적의 손실을 달성함을 보여준다. 공변량의 포함—무엇이든 유의미한지 여부에 관계없이—학습을 위한 충분한 가격 분산을 자동으로 유도하며, 강제 실험을 필요로 하지 않고 GILS의 불완전한 학습 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We consider a firm that sells products over $T$ periods without knowing the demand function. The firm sequentially sets prices to earn revenue and to learn the underlying demand function simultaneously. A natural heuristic for this problem, commonly used in practice, is greedy iterative least squares (GILS). At each time period, GILS estimates the demand as a linear function of the price by applying least squares to the set of prior prices and realized demands. Then a price that maximizes the revenue, given the estimated demand function, is used for the next time period. The performance is measured by the regret, which is the expected revenue loss from the optimal (oracle) pricing policy when the demand function is known. Recently, den Boer and Zwart (2014) and Keskin and Zeevi (2014) demonstrated that GILS is sub-optimal. They introduced algorithms which integrate forced price dispersion with GILS and achieve asymptotically optimal performance. In this paper, we consider this dynamic pricing problem in a data-rich environment. In particular, we assume that the firm knows the expected demand under a particular price from historical data, and in each period, before setting the price, the firm has access to extra information (demand covariates) which may be predictive of the demand. We prove that in this setting GILS achieves asymptotically optimal regret of order $\log(T)$. We also show the following surprising result: in the original dynamic pricing problem of den Boer and Zwart (2014) and Keskin and Zeevi (2014), inclusion of any set of covariates in GILS as potential demand covariates (even though they could carry no information) would make GILS asymptotically optimal. We validate our results via extensive numerical simulations on synthetic and real data sets.

연구 동기 및 목표

• 탐욕적 반복 최소제곱법(GILS) 정책에 수요 공변량을 포함시키면, 강제적인 가격 분산 없이도 GILS가 내재한 불완전한 학습 문제를 해결할 수 있는지 조사하는 것.
• 알 수 없는 수요 함수 하에서 GILS에 공변량을 적용할 경우 점차적으로 최적의 손실을 달성할 수 있는 이론적 조건을 설정하는 것.
• 무의미한 공변량조차도 충분한 탐색을 유도하여 GILS가 점차적으로 최적이 되게 하므로, 별도의 탐색 전략이 필요 없음을 보여주는 것.
• 합성 및 실세계 데이터셋에 대한 광범위한 수치 시뮬레이션을 통해 이론적 결과를 검증하는 것.
• 모델을 i.i.d. 공변량이 아닌 경우로 일반화하고, i.i.d. 가정을 초월한 결과의 적용 범위를 넓히는 것.

제안 방법

• 기업이 $T$ 기간 동안 수익을 극대화하면서도 알 수 없는 수요 함수를 학습하기 위해 가격을 설정하는 순차적 의사결정 문제로 동적 가격 설정을 공식화한다.
• 수요를 가격과 공변량의 선형 함수로 모델링하고, 가우시안 또는 마팅게일 차분 충격을 추가로 고려하며, 각 기간마다 최소제곱법을 사용해 수요 함수를 추정한다.
• GILS를 적용: 각 시점 $t$ 에서 이전 데이터(가격과 실현된 수요)를 사용해 수요 함수를 추정한 후, 현재 추정치를 기반으로 수익을 극대화하는 가격을 선택한다.
• 설계 행렬(가격과 공변량 포함)의 최소 특이값이 양의 하한 근처에 집중됨을 증명하여 추정의 안정성과 수렴성을 확보한다.
• 최근의 행렬 마팅게일 농도 부등식(Tropp, 2011)을 활용해 추정 오차와 손실에 대한 날카운 경계를 유도한다.
• 비-i.i.d. 공변량과 일반적인 오차 과정으로 분석을 확장하기 위해 조건부 기대값이 0이고 조건부 분산이 유계이며, 조건부 공분산 행렬의 고유값이 일관되게 유계임을 요구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GILS에 수요 공변량을 포함시키면, 명시적 탐색 없이도 동적 가격 설정에서 점차적으로 최적의 손실을 달성할 수 있는가?
• RQ2 무의미하거나 정보가 없는 공변량조차도 GILS의 불완전한 학습 문제를 해결하기에 충분한 가격 분산을 유도할 수 있는가?
• RQ3 GILS에 공변량을 적용한 경우 $O(\log T)$ 손실 경계를 확보하기 위한 설계 행렬과 오차 구조의 충분조건는 무엇인가?
• RQ4 GILS-공변량 정책은 공변량과 충격에 대한 i.i.d. 가정 위반에 얼마나 강인한가?
• RQ5 이론적 손실 경계를 i.i.d. 수열을 초월한 더 일반적인 확률과정으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• GILS에 수요 공변량을 포함시키면 점차적으로 최적의 손실이 $O(\log T)$ 수준에 도달하며, 이는 이 클래스 문제의 이론적 하한선과 정확히 일치한다.
• 예측 가능 여부에 관계없이 어떤 공변량 집합이든 포함될 경우 자동으로 충분한 탐색을 유도하여 GILS가 점차적으로 최적이 된다.
• 손실 경계는 최소 특이값에 대한 날카운 농도 부등식을 활용하여 유도되며, 이는 행렬 마팅게일 농도(Tropp, 2011)에 기반한다.
• 가격 항의 계수 값이 0이더라도 $O(\log T)$ 경계의 상수가 유한하게 유지됨을 보여, 모형 잘못 설정에 대한 강인성을 입증한다.
• 이론적 결과는 일반적인 가정 하에서 성립한다: 공변량은 조건부 기대값이 0이면 되며, 조건부 공분산 행렬의 고유값이 일관되게 유계이면 충분하다.
• 합성 및 실세계 데이터에 대한 수치 시뮬레이션을 통해 다양한 모형 위반과 데이터 조건 하에서도 $O(\log T)$ 손실 성능이 강인함을 확인한다.