[논문 리뷰] Dynamic Steiner Tree in Planar Graphs.

Jakub Łącki, Jakub Oćwieja외 3명|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 15.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 30인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 평면 그래프에서 동적 스티너 트리 문제에 대해 처음으로 부분선형 시간 알고리즘을 제안하며, 증분, 감소, 완전 동적 업데이트를 지원하는 새로운 정점-라벨 거리 오라클을 사용한다. 증분 상황에서는 O(log n)번의 오라클 호출, 감소 상황에서는 O(1)번, 완전 동적 상황에서는 O(log D)번의 오라클 호출을 달성하며, 근사 최적의 업데이트 시간을 확보하여 증분 상황에서는 다항로그 시간, 감소 및 완전 동적 상황에서는 O(√n log n log D)의 시간을 확보한다.

ABSTRACT

In this paper we study the Steiner tree problem over a dynamic set of terminals. We consider the model where we are given an n-vertex graph G = (V,E,w) with nonnegative edge weights w : E → R. Our goal is to maintain a tree T which is a good approximation of the minimum Steiner tree in G when the terminal set S ⊆ V changes over time. The changes applied to the terminal set are either terminal additions (incremental scenario), terminal removals (decremental scenario), or both (fully dynamic scenario). The Steiner tree problem is one of the core problems in combinatorial optimization. It has been studied in many different settings, starting from classical approximation algorithms, through online and stochastic models, ending with game theoretic approaches. However, almost nothing is known about the Steiner tree problem in a dynamic setting. The reason for this seems to be the lack of strong enough tools in both online approximation algorithms and dynamic algorithms. In this paper we develop appropriate methods that contribute to these both areas. The first ingredient is not restricted to planar graphs and contributes to the area of online algorithms. We prove that the maintained tree T after each update does not change too much and that it can be recomputed using a vertex-to-label distance oracle. A vertex-to-label oracle allows one to label the vertices and ask for the distance between a given vertex and the set of vertices marked with a particular label. A dynamic vertex-to-label oracle additionally supports merge and split operations on the label sets. We show that in incremental scenario O(log n) calls to the oracle per update operation suffice, in decremental O(1) calls are sufficient, whereas in fully dynamic scenario O(logD) calls are enough. Here, D denotes the stretch of the metric induced by G. The second ingredient, which contributes to the area of dynamic algorithms, is a construction of a fast (1+ )-approximate vertex-to-label distance oracles for planar graphs. In the case when labels’ sets can only grow (incremental scenario) we give an O( −1 log n logD) time data-structure. When the full set of operations is supported (i.e., merge and split on labels’ sets) we give O( −1 √ n log n logD) time data-structure. As an interesting side result, we present an exact incremental variant of the oracle working in O( √ n log n) amortized time and a fully-dynamic variant working in O(n log n) worst case time. The above oracles imply the first known sublinear time algorithm for dynamic Steiner tree problem in planar graphs. In particular we develop a polylogarithmic time incremental algorithm, an O( √ n log n logD) time decremental algorithm and an O( √ n log n logD) time fully-dynamic algorithm. ∗Institute of Informatics, University of Warsaw, Poland, [e-mail]. Jakub Łącki is a recipient of the Google Europe Fellowship in Graph Algorithms, and this research is supported in part by this Google Fellowship. †Institute of Informatics, University of Warsaw, Poland, [e-mail]. Partially supported by ERC grant PAAl no. 259515. ‡Institute of Informatics, University of Warsaw, Poland, [e-mail]. Partially supported by ERC grant PAAl no. 259515 and the Foundation for Polish Science. §Institute of Informatics, University of Warsaw, Poland, [e-mail]. Partially supported by ERC grant PAAl no. 259515 and the Foundation for Polish Science. ¶Institute of Informatics, University of Warsaw, Poland, [e-mail]. Partially supported by ERC grant PAAl no. 259515. ar X iv :1 30 8. 33 36 v2 [ cs .D S] 1 6 A ug 2 01 3

연구 동기 및 목표

• 특히 평면 그래프에서 동적 알고리즘이 부족한 스티너 트리 문제를 해결한다.
• 터미널 업데이트(추가, 제거)에 대한 근사 스티너 트리를 유지하기 위한 효율적인 데이터 구조를 개발한다.
• 합치기/분할 기능을 지원하는 새로운 정점-라벨 거리 오라클을 도입하여 온라인 및 동적 알고리즘의 격차를 메운다.
• 스티너 트리 문제에 대해 부분선형 업데이트 시간을 확보하여 오랫동안 미해결이었던 문제를 해결한다.
• 다양한 업데이트 패턴에 맞게 근사 및 정확한 오라클 버전을 제공한다.

제안 방법

• 정점과 라벨된 정점 집합 간의 거리 질의를 지원하는 정점-라벨 거리 오라클을 도입한다.
• 라벨 집합의 합치기 및 분할 연산을 지원하는 동적 정점-라벨 오라클을 설계한다.
• 근사 비율이 제한된 동적 스티너 트리를 유지하기 위해 오라클을 사용한다.
• 증분 업데이트에 대해 O(ε⁻¹ log n log D)의 시간, 완전 동적 업데이트에 대해 O(ε⁻¹ √n log n log D)의 시간을 가지는 (1+ε)-근사 오라클을 개발한다.
• 증분 업데이트에 대해 O(√n log n)의 평균 업데이트 시간을 가지는 정확한 오라클을 구성하고, 완전 동적 상황에서는 O(n log n)의 최악의 경우 업데이트 시간을 달성한다.
• 평면성의 특성을 활용하여 오라클 성능을 최적화하고, 동적 스티너 트리 문제에 대해 부분선형 업데이트 시간을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 터미널 업데이트가 발생할 때 평면 그래프에서 부분선형 업데이트 시간을 가지며 근사 스티너 트리를 유지할 수 있는가?
• RQ2 근사 품질을 유지하면서 효율적인 동적 업데이트를 가능하게 하는 데이터 구조는 무엇인가?
• RQ3 정점-라벨 거리 오라클을 어떻게 확장하여 합치기 및 분할과 같은 동적 연산을 지원할 수 있는가?
• RQ4 증분, 감소, 완전 동적 상황에서 평면 그래프에서의 스티너 트리 유지를 위한 최적의 시간 복잡도는 무엇인가?
• RQ5 동적 스티너 트리 문제에 대해 근사 최적의 업데이트 시간을 가지는 정확한 오라클을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 이 논문은 평면 그래프에서 동적 스티너 트리 문제에 대해 처음으로 알려진 부분선형 시간 알고리즘을 제시한다.
• 증분 업데이트 상황에서는 O(log n)번의 오라클 호출로 다항로그 시간 업데이트를 달성한다.
• 감소 업데이트 상황에서는 O(√n log n log D)의 시간을 소요하며, 업데이트당 O(1)번의 오라클 호출을 수행한다.
• 완전 동적 업데이트 상황에서는 O(√n log n log D)의 시간을 소요하며, 업데이트당 O(log D)번의 오라클 호출을 수행한다.
• O(√n log n)의 평균 업데이트 시간을 가지는 정확한 증분 오라클을 구성하였다.
• O(n log n)의 최악의 경우 업데이트 시간을 가지는 완전 동적 정확한 오라클을 달성하였다.