[논문 리뷰] Dynamic Triad Interactions and Evolving Turbulence -- Part 1: 4D Modal Interactions

Preben Buchhave, Clara M. Velte|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 11.

Meteorological Phenomena and Simulations참고 문헌 1인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 난류에서 삼중 상호작용을 모델링하기 위해 나비에-스토크스 방정식에 4차원 푸리에 분석을 제안하며, 타일러의 고정장 가설이 성립하지 않을 경우 시간을 독립 변수로 간주한다. 유한한 공간적 및 시간적 샘플링이 스펙트럼 피크를 넓히고 에너지 전달에 시간 지연을 유도함으로써 고전적 리처드슨 캐스케이드에서의 편차를 설명하며, 실험 및 시뮬레이션에서 관측된 지연된 상호작용을 검증한다.

ABSTRACT

We investigate the effect of a four-dimensional Fourier transform on the formulation of the Navier-Stokes equation in Fourier space and the way the energy is transferred between Fourier components. Since time in a sampled high intensity turbulence must be considered a stochastic variable in the energy exchange between scales, we refer to these dynamic triad interactions as modal interactions, rather than the commonly referred to triad interactions in the classical 3-dimensional analysis. The inclusion of time as a parameter broadens the phase match condition from the classical one, $Δ\bm{k} \cdot \bm{r} = \left [ \bm{k} - (\bm{k}_1 + \bm{k}_2 ) ight ] \cdot \bm{r}$, to the more general formulation that also includes temporal frequencies: $Δ\bm{k} \cdot \bm{r} - Δωt = \left [ \bm{k} - (\bm{k}_1 + \bm{k}_2 ) ight ] \cdot \bm{r} - \left [ ω- \left (ω_1 + ω_2 ight ) ight ] t$. This renders possible the occurrence of `delayed' and `advanced' interactions. The observation that mismatches in the wavevector triadic interactions may be compensated by a corresponding mismatch in the frequencies supports the empirically deduced delayed interactions reported in [Josserand extit{et al.}, extit{J. Stat. Phys.} (2017)]. These results explain the occurrence and inherent time development of the so-called Richardson cascade and also how finite temporal overlap of wave components can result in significant non-local interactions and consequently non-equilibrium turbulence, e.g., fractal grid generated turbulence. The consequences of including time as a parameter in practical experiments or simulations in terms of limited resolution, domain size etc. are treated in the companion paper (Part 2) of the present work.

연구 동기 및 목표

• 실험 데이터에서의 유한한 공간적 및 시간적 샘플링이 난류 흐름의 모드 상호작용에 미치는 영향을 이해하는 것.
• 타일러의 고정장 가설이 성립하지 않을 경우 시간이 삼중 상호작용에서 독립 변수로 작용하는 역할을 조사하는 것.
• 실제 측정 조건에 따라 속도 스펙트럼의 동적 진화를 모델링하는 것.
• 실험 및 시뮬레이션에서 관측된 지연된 상호작용과 스펙트럼의 넓어짐의 기원을 설명하는 것.
• 이론적 모드 상호작용을 난류 제트에서의 에너지 전달에 대한 경험적 관측과 연결하는 것.

제안 방법

• 시간을 독립 변수로 포함한 나비에-스토크스 방정식에 4차원 푸리에 변환을 적용하는 것.
• 유한한 공간적 및 시간적 도메인 제약 조건 하에서 삼중 상호작용의 효율성을 지배하는 단위를 도출하는 것.
• 유한한 샘플링으로 인한 스펙트럼 윈도잉 효과를 도입하여 상호작용 피크를 넓히고 에너지 전달 효율을 변화시키는 것.
• 시간에 따라 변하는 단위 보정을 통해 波벡터 삼중체의 불일치를 설명하며, 경험적으로 관측된 지연된 상호작용을 뒷받침하는 것.
• 측정된 데이터로부터 시간에 따른 속도 스펙트럼의 진화를 시뮬레이션하기 위해 나비에-스토크스 방정식의 1차원 투영을 구현하는 것.
• 난류 제트에 단일 모드 진동을 주입한 실험 측정값과 시뮬레이션 스펙트럼을 비교하여 결과를 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한한 공간적 및 시간적 샘플링은 삼중 상호작용의 위상 일치 조건에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 시간을 독립 변수로 포함할 경우 난류에서 에너지 전달의 역학은 어떻게 변화하는가?
• RQ3 관측된 난류 캐스케이드 과정의 시간 지연은 무엇으로 인해 발생하며, 어떻게 모델링할 수 있는가?
• RQ4 스펙트럼의 넓어짐과 유한 도메인 효과는 속도 스펙트럼의 형태와 진화에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 1차원 나비에-스토크스 시뮬레이션은 난류 제트에서 주입된 모드로부터 실험 스펙트럼을 어느 정도 재현할 수 있는가?

주요 결과

• 유한한 공간적 및 시간적 도메인은 상호작용하는 푸리에 성분의 피크를 넓히는 스펙트럼 윈도우를 도입하여 상호작용 효율을 변화시킨다.
• 타일러의 고정장 가설이 성립하지 않을 경우, 시간적 변동성이 공간적 위상 불일치를 보완하여 이질적인 상호작용을 가능하게 한다.
• 푸리에 변환에 시간을 포함함으로써 삼중 상호작용이 본질적으로 시간 지연을 가지며, 각 상호작용이 다음 상호작용 이전에 발생함을 드러낸다.
• 유한한 샘플링으로 인한 스펙트럼의 넓어짐은 고전적 리처드슨 캐스케이드에서의 편차를 설명하며, 특히 실험 데이터에서 두드러진다.
• 1차원 나비에-스토크스 투영 기반의 시뮬레이션은 측정된 속도 스펙트럼과 강한 일치를 보이며, 모델의 예측 능력을 검증한다.
• 실험에서 관측된 지연된 상호작용은 4차원 푸리에 공식화에서 공간 및 시간 성분 간의 동적 위상 보정에 의해 설명된다.