[논문 리뷰] Dynamical Diophantine Approximation

Aihua Fan, Joerg Schmeling외 1명|arXiv (Cornell University)|2007. 05. 29.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 1인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 원주 위에서 이중화 사상과 길버스 측도를 이용하여 동적 딜로판트 대수적 근사 문제를 연구하며, 다중분포 길버스 측도에 대한 질량 이행 원리를 확립한다. 엔트로피 스펙트럼과 압력 함수를 통해 잘 근사 가능한 점들과 나쁜 근사 가능한 점들의 정확한 하우스도르프 차원을 도출하며, 기존의 클래식한 자르니크 유형 결과를 비단일분포 측도로 일반화한다.

ABSTRACT

Let $μ$ be a Gibbs measure of the doubling map $T$ of the circle. For a $μ$-generic point $x$ and a given sequence $\{r_n\} \subset \R^+$, consider the intervals $(T^nx - r_n \pmod 1, T^nx + r_n \pmod 1)$. In analogy to the classical Dvoretzky covering of the circle we study the covering properties of this sequence of intervals. This study is closely related to the local entropy function of the Gibbs measure and to hitting times for moving targets. A mass transference principle is obtained for Gibbs measures which are multifractal. Such a principle was shown by Beresnevich and Velani \cite{BV} only for monofractal measures. In the symbolic language we completely describe the combinatorial structure of a typical relatively short sequence, in particular we can describe the occurrence of ''atypical'' relatively long words. Our results have a direct and deep number-theoretical interpretation via inhomogeneous diadic diophantine approximation by numbers belonging to a given (diadic) diophantine class.

연구 동기 및 목표

• 원주 위의 비단일분포 길버스 측도로 고전적인 동적 보렐-칸델라 및 딜로판트 대수적 근사 결과를 일반화한다.
• 기존에 단일분포 측도로 제한된 바에 비해 다중분포 길버스 측도에 대한 질량 이행 원리를 확립한다.
• 이중화 사상의 궤도에 의해 잘 근사 가능한 점들의 집합의 하우스도르프 차원을 다양한 근사 속도에서 특성화한다.
• 형평한 궤도의 근사 성질을 기저 길버스 측도의 엔트로피 스펙트럼과 압력 함수와 연결한다.

제안 방법

• 이중화 사상 T(x) = 2x mod 1 하에서 원주 위의 길버스 측도 μϕ를 사용하여 일반 궤도를 모델링한다.
• Tⁿx를 중심으로 반지름 rₙ = n⁻κ인 간격의 limsup 및 liminf로 구성된 근사 집합 Iκ(s) 및 Fκ(s)를 정의한다.
• 열역학적 형식주의 적용: 근사 집합의 차원을 압력 함수 P(qϕ)와 그 도함수와 연결한다.
• 엔트로피 스펙트럼 E(t) = sup{hμ(μ) : ∫ϕdμ = t}를 사용하여 Fκ(s) 및 Iκ(s)의 하우스도르프 차원을 특성화한다.
• 근사 집합의 차원을 압력 함수와 연결함으로써 다중분포 측도에 대한 질량 이행 원리를 확립한다.
• 기호 역학에서 원주로의 결과를 전이 사상 π를 통해 전달하며, π의 후퇴 측도 νϕ = μϕ∘π⁻¹를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 μϕ-거의 모든 x에 대해, S¹의 점 y 중 궤도 {Tⁿx}에 의해 속도 rₙ = n⁻κ로 잘 근사 가능한 점들의 집합의 하우스도르프 차원은 무엇인가?
• RQ2 길버스 측도의 엔트로피 스펙트럼과 압력 함수에 따라 Fκ(s)의 차원은 어떻게 달라지는가?
• RQ3 기존에 단일분포 측도로 알려진 결과를 일반화하여 다중분포 길버스 측도에 대한 질량 이행 원리를 확립할 수 있는가?
• RQ4 Iκ(s)가 전체 차원 1을 가지는 조건은 무엇이며, 언제 그 크기가 작아지는가?
• RQ5 잠재력 ϕ가 비표준적이며, 특히 엔트로피 스펙트럼의 비연속점에서 근사 행동은 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• μϕ-거의 모든 x에 대해, Fκ(π(x))의 하우스도르프 차원은 E(1/κ) = P(qκϕ) + (1/κ)qκ로 주어지며, 여기서 P′(qκϕ) = -1/κ이다.
• μϕ-거의 모든 x에 대해, Iκ(π(x))의 하우스도르프 차원은 hνϕ ≤ 1/κ < -∫ϕdLeb.일 때 E(1/κ)이며, 1/κ > hνϕ일 때는 1/κ로 등가이다.
• 1/κ ≤ -∫ϕdLeb.일 경우, νϕ-거의 모든 s에 대해 dimH(Fκ(s)) = 1이며, 느린 근사에서 전체 측도를 차지함을 나타낸다.
• 1/κ ≥ -∫ϕdLeb.일 경우, νϕ-거의 모든 s에 대해 dimH(Iκ(s)) = 1이며, 거의 모든 점이 무한히 자주 잘 근사됨을 의미한다.
• κ < 1/(-inf_μ ergodic ∫ϕdμ)일 경우, Fκ(s)는 공집합이며, 매우 느린 근사 속도에서는 나쁜 근사 가능한 점이 존재하지 않음을 보여준다.
• 결과는 기존의 클래식한 자르니크 유형 정리들을 비단일분포 길버스 측도로 일반화하며, 압력 함수와 엔트로피 스펙트럼이 근사 집합의 차원을 완전히 결정함을 보여준다.