[논문 리뷰] Dynamical properties of random Schrödinger operators

Jean-Marie Barbaroux, Werner Fischer외 1명|arXiv (Cornell University)|1999. 07. 01.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 20인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $\ell^2(\mathbb{Z}^d)$ 및 $L^2(\mathbb{R}^d)$ 위에서의 랜덤 샤크로딩어 연산자에 대해 산란 지수의 소멸 조건을 확립하며, 이는 역학적 국소화 또는 산란의 부재를 의미한다. 다중 척도 분석과 위치 모멘트의 케르스로 평균을 사용하여, 컴팩트하게 지지된 초기 상태에 대한 스펙트럼 프로젝션 하에서 $\sigma_{\rm diff}^+ = 0$을 증명한다.

ABSTRACT

We study dynamical properties of random Schrödinger operators $H^{(ω)}$ defined on the Hilbert space $\ell^2(\bbZ^d)$ or $L^2(\bbR^d)$. Building on results from existing multi-scale analyses, we give sufficient conditions on $H^{(ω)}$ to obtain the vanishing of the diffusion exponent $$ σ_{ m diff}^+ := \limsup_{T ightarrow\infty } \frac{\log \bbE \left(\la\la\vert X \vert^2 a a_{T,f_I(H^{(ω)})ψ} ight) }{\log T}=0. $$ Here $\bbE$ is the expectation over randomness, $f_{I}$ is any smooth characteristic function of a bounded energy-interval $I$ and $ψ$ is a state vector in the domain of $H^{(ω)}$ with compact spatial support. The quantity $\la\la |X|^2 a a_{T,φ}$ denotes the Cesaro mean up to time $T$ of the second moment of position $\la |X|^2 a_{t,φ}$ at times $0\le t\le T$ of an initial state vector $φ$. If the Hilbert space is $\ell^2(\bbZ^d)$, the method of proof can be strengthened to yield dynamical localization. Under weaker assumptions, we also prove a theorem on the absence of diffusion. The results are applied to a randomly perturbed periodic Schrödinger operator on $L^2(\bbR^d)$, to a simple Anderson-type model on the lattice and to a model with a correlated random potential in continuous space.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 샤크로딩어 연산자에 대해 산란 지수 $\sigma_{\rm diff}^+$ 가 소멸하는 충분조건을 확립하기.
• 스펙트럼 프로젝션과 컴팩트하게 지지된 초기 상태를 사용하여 이산 및 연속 설정에서의 역학적 국소화를 분석하기.
• 상관 있는 랜덤 포텐셜을 가진 모델과 변형된 격자 주기 시스템에 대한 산란 부재 결과를 확장하기.
• 다중 척도 분석을 기반으로 한 동일한 프레임워크를 사용하여 다양한 랜덤 샤크로딩어 모델 간의 역학적 행동 분석을 통합하기.
• 파동 패킷이 시간이 지남에 따라 퍼지지 않는 데 필요한 엄밀한 조건을 제공하기.

제안 방법

• 다중 척도 분석 결과를 적용하여 $H^{(\omega)}$의 스펙트럼 및 역학적 행동에 대한 경계를 유도한다.
• 시간 $T$ 에 대해 $\langle |X|^2 \rangle_{t,\varphi}$ 의 케르스로 평균을 취하여 $\langle\!\langle |X|^2 \rangle\!\rangle_{T,\varphi}$ 를 정의함으로써 장기 평균 확산을 캡처한다.
• 공간에서 국소화된 초기 상태를 확보하기 위해 컴팩트하게 지지된 $\psi$ 를 가진 부드러운 스펙트럼 프로젝션 $f_I(H^{(\omega)})\psi$ 를 도입한다.
• 무작위성에 대한 기대값 $\mathbb{E}$ 를 사용하여 다양한 불순성 실현치에서의 일반적인 역학적 행동을 분석한다.
• 세 가지 모델에 이 방법을 적용한다: 변형된 주기적 시스템, 격자 앤더슨 모델, 상관 있는 포텐셜을 가진 연속 모델.
• $\ell^2(\mathbb{Z}^d)$ 의 구조를 활용하여 적절한 가정 하에 전체 역학적 국소화로 결과를 강화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤 샤크로딩어 연산자에 대해 산란 지수 $\sigma_{\rm diff}^+$ 가 어떤 조건에서 소멸하는가?
• RQ2 다중 척도 분석과 케르스로 평균화된 위치 모멘트를 사용하여 이산 시스템에서 역학적 국소화를 증명할 수 있는가?
• RQ3 연속 공간에서 상관 있는 랜덤 포텐셜의 존재가 산란 부재에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 산란 부재에 대한 결과를 변형된 주기적 시스템으로 얼마나 넓히는가?
• RQ5 초기 상태의 공간적 컴팩트한 지지가 산란 소멸을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 다중 척도 분석에서 유도된 충분조건 하에서 산란 지수 $\sigma_{\rm diff}^+$ 가 소멸한다, 즉 $\sigma_{\rm diff}^+ = 0$ 이다.
• $\ell^2(\mathbb{Z}^d)$ 에서는 이 방법이 역학적 국소화를 유도하여 시간이 지남에 따라 파동 패킷의 확산이 없음을 의미한다.
• 연속 공간에서는 무작위로 변형된 주기적 샤크로딩어 연산자에 대해 산란 부재가 증명된다.
• 결과는 격자 위의 단순한 앤더슨 유형 모델로 확장되어 이산 케이스에서의 국소화를 확인한다.
• $L^2(\mathbb{R}^d)$ 에서 상관 있는 랜덤 포텐셜을 가진 모델 역시 유도된 조건 하에 산란 부재를 보인다.
• 위치의 케르스로 평균화된 두 번째 모멘트가 시간에 대해 로그적으로 유계이다. 이는 부분 산란 또는 국소화된 역학을 확인한다.