[논문 리뷰] Dynamical stability and Lyapunov exponents for holomorphic endomorphisms of P(k)

François Berteloot, Fabrizio Bianchi외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 29.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 18인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 복소 프로젝티브 공간 P^k의 헬름홀로픽 엔도모르피즘에 대한 다이나믹스적 안정성의 여러 개념들 사이의 동치성을 확립한다. 이는 반발성 사이클의 안정성, 리아프노프 지수의 합의 폴리하모닉성, 평형 웹 또는 라미네이션의 존재, 미지우레비치 매개변수의 부재를 포함한다. 핵심 기여는 높은 차원의 헬름홀로픽 다이나믹스에서 일관된 분기 이론을 제공하는 것으로, 여기서 분기 전류 ddcL(여기서 L은 리아프노프 지수의 합)과 평형 라미네이션으로서의 측도적 헬름홀로픽 모션을 중심으로 한다.

ABSTRACT

We introduce a notion of stability for equilibrium measures in holomorphic families of endomorphisms of CP(k) and prove that it is equivalent to the stability of repelling cycles and equivalent to the existence of some measurable holomorphic motion of Julia sets which we call equilibrium lamination. We characterize the corresponding bifurcations by the strict subharmonicity of the sum of Lyapunov exponents or the instability of critical dynamics and analyze how repelling cycles may bifurcate. Our methods deeply exploit the properties of Lyapunov exponents and are based on ergodic theory and on pluripotential theory.

연구 동기 및 목표

• P^k의 엔도모르피즘 가중치 가중치의 다이나믹스적 안정성을 정의하고 특성화하여, 일차원 결과를 고차원으로 일반화한다.
• 반발성 사이클, 리아프노프 지수, 평형 웹, 라미네이션을 포함한 안정성 기준의 동치성을 확립한다.
• 분기 전류 ddcL를 중심 대상으로 도입하고 분석하여, 안정성과 복소의학 이론 및 에르고딕 이론을 연결하는 이론의 핵심으로 삼는다.
• 측도적 헬름홀로픽 모션의 개념(평형 라미네이션)을 고차원 다이나믹스로 확장한다.
• L의 엄격한 하모닉성 또는 임계 다이나믹스의 비안정성에 의해 분기를 특성화한다.

제안 방법

• 매개변수 공간 M 위에서 복소다양체 함수 L(λ) = ∫_Pk log|Jac f| dµλ를 정의하고, 이 함수가 복소다양체 함수임을 보인다.
• 에르고딕 이론을 사용하여 반발성 J-사이클이 평형 측도 µλ에 대해 균일하게 분포하고, Jλ 안에 조밀하게 분포함을 보인다.
• 평형 웹을 정의한다. 이는 M → P^k의 헬름홀로픽 섹션 γ: M → P^k 중에서 γ(λ) ∈ Jλ를 만족하며, F-불변성과 µλ로의 사영 조건을 만족하는 확률 측도 M이다.
• 평형 라미네이션을 정의한다. 이는 자코비 세트의 측도적 헬름홀로픽 모션으로서, 평형 웹의 존재와 동치이다.
• 복소의학 이론과 양의 전류 이론을 적용하여, 특히 임계 집합에 대한 통합 전류 [Cf]를 사용하여 분기를 분석한다.
• 역사상의 분포 추정과 양의 경계를 갖는 역함수 정리의 응용을 통해 역지지의 분포 제어를 수행함으로써 안정성 조건의 동치성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 P^1 상의 유리 함수에서의 다이나믹스적 안정성 개념을 P^k의 엔도모르피즘으로 일반화할 때 올바른 일반화는 무엇인가?
• RQ2 고차원 헬름홀로픽 다이나믹스에서 반발성 사이클의 안정성, 리아프노프 지수의 행동, 자코비 세트의 헬름홀로픽 모션의 존재는 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 P^k에서의 분기 영역은 닫힌 양의 전류의 지지로 특성화될 수 있는가? 그리고 이는 리아프노프 지수의 합과 어떤 관계가 있는가?
• RQ4 임계 다이나믹스는 고차원 가중치 가중치에서 분기를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 측도적 헬름홀로픽 모션(평형 라미네이션)이 존재하는 조건은 무엇이며, 이는 안정성과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 리아프노프 지수의 합 L(λ)는 M 위에서 복소다양체 함수이며, L(λ) ≥ k log d / 2 를 만족한다.
• 가중치 가중치의 안정성은 L이 M 위에서 폴리하모닉일 때와 동치이며, 이는 안정성 영역이 L이 조화 함수인 집합임을 특성화한다.
• 평형 웹의 존재(측도 µλ의 헬름홀로픽 접합)는 평형 라미네이션의 존재(자코비 세트의 측도적 헬름홀로픽 모션)와 동치이다.
• 분기 전류는 ddcL로 정의되며, 분기 영역은 이 전류의 지지이다; 가중치 가중치는 이 전류가 0일 때에만 안정하다.
• 미지우레비치 매개변수(비지속성 중성 사이클이 있는 매개변수)의 부재는 안정성과 동치이다.
• 안정성이 성립할 경우 평형 웹은 유일하며, 임의의 두 평형 라미네이션의 교차는 M(L1∆L2) = 0 를 만족한다.