[논문 리뷰] Dynamical Zeta Functions, Nielsen theory and Reidemeister torsion

Alexander Fel’shtyn|ArXiv.org|1996. 04. 02.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 33인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 동역학계에서 동역학적 제타 함수, 니엘렌의 고정점 이론, Reidemeister 토션 간의 깊은 연결을 수립한다. 연속 사상과 군 자기환류에 대해 Reidemeister 및 니엘렌 제타 함수를 도입하고, 특정 클래스(예: 최종적으로 가환성 있는, 멱영, 거의 아벨 군)에 대해 그들의 유리성과 함수방정식을 증명하며, 특히 통합 가능한 해밀턴 시스템과 보트 적분, 라운드 모어스 함수에서 매핑 토러스 위의 호로니 표현을 통해 이 제타 함수들을 Reidemeister 토션과 연결한다.

ABSTRACT

The paper consists of four parts. Part I presents a brief survey of the Nielsen fixed point theory. Part II deals with dynamical zeta functions connected with Nielsen fixed point theory. Part III is concerned with congruences for the Reidemeister and Nielsen numbers. Part IV deals with the Reidemeister torsion . In Chapter 2 we prove that the Reidemeister zeta function of a group endomorphism is a rational function with functional equation in the following cases: the group is finitely generated and an endomorphism is eventually commutative; the group is finite ; the group is a direct sum of a finite group and a finitely generated free abelian group; the group is finitely generated, nilpotent and torsion free. In Chapter 3 we show that the Nielsen zeta function has a positive radius of convergence which admits a sharp estimate in terms of the topological entropy of the map. For a periodic map of a compact polyhedron we prove that Nielsen zeta function is a radical of a rational function. In sect ion 3.4 and 3.5 we give sufficient conditions under which the Nielsen zeta function coincides with the Reidemeister zeta function and is a rational function with functional equation. In Chapter 5 we prove analog of Dold congruences for Reidemeister and Nielsen numbers. In section 6.2 we establish a connection between the Reidemeister torsion and Reidemeister zeta function. In section 6.3 we establish a connection between the Reidemeister torsion of a mapping torus, the eta-invariant, the Rochlin invariant and the multipliers of the theta function. In section 6.4 we describe with the help of the Reidemeister torsion the connection between the topology of the attraction domain of an attractor and the dynamic of the system on the attractor.

연구 동기 및 목표

• 니엘렌 고정점 이론, Reidemeister 토션, 동역학적 제타 함수를 연결함으로써 동역학계에서 제타 함수 이론을 통합하고 확장하는 것.
• 특히 군 자기환류에 대해 대수적·위상수학적 맥락에서 Reidemeister 및 니엘렌 제타 함수의 유리성과 함수방정식을 확립하는 것.
• 보트 적분의 분리선 다이어그램을 사용한 호로니 표현과 결합하여, 컴acts symplectic 다양체에서 Reidemeister 토션에 대한 위상수학적 공식을 유도하는 것.
• 다양한 군 클래스와 사상에 대해 Reidemeister 및 니엘렌 수의 합동성 성질을 조사하는 것.
• 매핑 토러스와 리아푸노프 함수가 안정기저와 불변 표면의 위상기하학과 토션을 어떻게 연결하는지 탐구하는 것.

제안 방법

• 사상 또는 자기환류의 반복에 대한 Reidemeister 수를 생성하는 생성함수로 Reidemeister 제타 함수를 도입한다.
• Pontryagin 쌍대성과 추적 공식을 적용하여, 최종적으로 가환성 있는 자기환류의 경우 제타 함수의 유리성과 함수방정식을 증명한다.
• 라운드 하네스 분해와 비특이 모어스-스멀 흐름의 개념을 사용하여, 등에너지 표면에서 보트 적분의 역학을 모델링한다.
• 비특이 임계 원환선 γ에 대한 곱으로 표현된 4차원 다양체 Q에서 Reidemeister 토션의 공식을 유도한다: |det(I - δ(γ)ρ_E(γ))|^{ε(γ)}이며, 여기서 δ(γ) = ±1, ε(γ) = (-1)^{u(γ)}이며, u(γ)는 불안정다양체의 차원이다.
• 격리 블록 B ≃ X_γ × I^s를 구성하고, 단순 호모토피 동치를 사용하여 (Q_{i+1}, Q_i)의 토션과 (X_γ, ∂X_γ)의 토션을 연결한다.
• Bismut-Freed-Witten 호로니 정리 적용 및 동역학적 제타 함수를 통해 토션을 에타 불변량과 썰매 승수와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Reidemeister 제타 함수가 언제 유리적이며, 함수방정식을 만족하는가?
• RQ2 니엘렌 제타 함수와 Reidemeister 제타 함수는 이중 사상의 레프셰츠 제타 함수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 통합 가능한 해밀턴 시스템에서 보트 적분이 있는 경우 Reidemeister 토션의 위상기하학적 의미는 무엇인가?
• RQ4 더 넓은 군 클래스에서 Reidemeister 및 니엘렌 수에 대해 합동관계를 설정할 수 있는가?
• RQ5 임계 원환선 γ의 분리선 다이어그램의 구조가 다양체의 Reidemeister 토션에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 최종적으로 가환성 있는 자기환류의 경우 Reidemeister 제타 함수는 유리적이며 함수방정식을 만족한다.
• 멱영 군의 경우 Reidemeister 제타 함수는 함수방정식을 만족하고 유리적이다.
• 이중 사상의 매핑 토러스의 Reidemeister 토션은 τ(Q; E) = ∏_γ |det(I - δ(γ)ρ_E(γ))|^{ε(γ)}로 주어지며, 여기서 ε(γ) = (-1)^{u(γ)}이며, δ(γ) = ±1은 가 orientability에 따라 달라진다.
• 보트 적분이 라운드 모어스 함수인 통합 가능한 해밀턴 시스템에서는 임계 원환선이 주기 궤도에 대응하고, 분리선 다이어그램이 호로니 표현을 통해 토션을 결정한다.
• 임계 부분다양체가 원환선만을 포함하는 컴팩트, 옹호성, 심플렉틱 4차원 다양체 Q와 보트 적분 f에 대해 토션 공식이 성립한다.
• 최소 동역학적 제타 함수와 mod K 니엘렌 제타 함수가 도입되었으며, 수렴 성질은 위상적 엔트로피와 기본군의 구조와 연결되어 있다.