[논문 리뷰] Dynamically Consistent Nonlinear Evaluations and Expectations

Shigē Péng|ArXiv.org|2005. 01. 24.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 22인용 수 56

한 줄 요약

이 논문은 후행 확률미분방정식(BSDEs)를 사용하여 연기된 청구권에 대한 동적이고 비선형 평가 프레임워크를 제안하며, 어떤 동적 일致성 있는 비선형 평가가 g-기대에 의해 지배될 경우 반드시 g-평가임을 증명한다. 주요 기여는 이러한 평가가 생성함수 g에 의해 완전히 결정됨을 보여주는 특성 정리로, 연속시간 확률과정에서의 비선형 기대 이론을 선형 및 G-기대를 초월하여 경로에 의존하는 비선형 평가로 일반화한다.

ABSTRACT

How an economic agent (a firm, an investor or a financial market) evaluates a contingent claim, say a European type of derivatives X, with maturity t? In this paper we study a mechanism of dynamic expectations and evaluations. We give the axiomatic conditions of the time consistency. We prove that, under a domination condition, a time consistent nonlinear evaluation is in fact a g-expectation, i.e., it is completely determined a BSDE in which the generator is a given function g.

연구 동기 및 목표

• 연속시간 금융모델에서 연기된 청구권에 대한 동적이고 시간 일치성 있는 평가를 체계화하기 위해.
• 비선형 평가 연산자가 g-기대로 표현될 수 있는 필요 및 충분조건을 규명하기 위해.
• 선형 및 G-기대를 초월하여 경로에 의존하는 비선형 평가를 BSDE에 의해 구동하는 비선형 기대 이론을 일반화하기 위해.
• 최소한의 정규성 가정 하에 비선형 평가 문제의 해가 존재하고 유일함을 확립하기 위해.

제안 방법

• 동적 일관성, 단조성, 시간 일관성, 영-일치 법칙을 만족하는 연산자 집합 {ℰs,t[·]}에 대한 공리 (A1)–(A4)를 도입한다.
• 생성함수 g와 종료조건 X를 갖는 후행 확률미분방정식(BSDE)의 해를 통해 g-평가를 정의하며, ℰs,t^g[X] = ys로 표현한다.
• 정규성을 확보하기 위해 추가적인 지배 조건 (A5): ℰs,t[X] − ℰs,t[X′] ≤ ℰ^gμ[X − X′] 를 도입하며, 여기서 gμ = μ(|y| + |z|)이다.
• 리프시츠 생성함수와 L2-연속 해를 갖는 BSDE 이론을 활용하여 정지시간에 대한 평가 연산자의 연속성과 수렴성을 증명한다.
• ℰ-마팅게일에 대한 두부-마이어 유형 분해와 선택적 정지 정리를 적용하여 경로별 정규성과 안정성을 확립한다.
• 𝒮_T^0 내의 정지시간을 이용한 근사 기법과 극한 추론을 활용하여 유계가 아닌 일반 정지시간으로 결과를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 동적 일관성 있는 비선형 평가 연산자가 반드시 BSDE에 의해 g-평가로 표현될 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 axiomatically 일관성 있는 비선형 평가를 유도하는 BSDE의 생성함수 g를 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ3 지배 조건 (A5)는 비선형 평가가 g-평가가 되도록 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 선택적 정지 정리는 비선형 기대로 확장될 수 있는가? 만약 가능하다면 어떤 조건에서 가능한가?
• RQ5 비선형 평가 하에서 ℰ-마팅게일과 ℰ-슈퍼마팅게일의 성질은 고전적 마팅게일 이론을 어떻게 일반화하는가?

주요 결과

• (A1)–(A5)를 만족하는 모든 동적 일관성 있는 비선형 평가 연산자는 반드시 g-평가이며, 즉 어떤 생성함수 g에 대해 ℰs,t[·] = ℰs,t^g[·] 임이 보장된다.
• 생성함수 g는 평가 연산자에 의해 유일하게 결정되며, 평가 연산자는 해당 g를 갖는 BSDE의 해에 의해 완전히 특성화된다.
• 평가 연산자 ℰs,t[·] 는 정지시간 σ와 τ에 대해 연속적이며, 단조 수렴한계 하에서 L2(ℱT) 수렴성을 보인다.
• ℰ-슈퍼마팅게일에 대해 선택적 정지 정리가 성립한다: σ ≤ τ 일 때, ℰσ,τ[Yτ] ≤ Yσ 거의확실하게 성립한다.
• ℰ-마팅게일에 대한 두부-마이어 분해 정리가 확립되어, 모든 ℰ-슈퍼마팅게일이 유일한 ℰ-마팅게일과 감소하는 과정의 합으로 분해됨을 보여준다.
• 증명은 𝒮_T^0 내의 정지시간을 통한 근사와 L2 수렴에 기반하여, 극한 하에서의 강건성을 보장한다.