[논문 리뷰] Dynamics in parallel of double Boolean automata circuits

Mathilde Noual|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 17.

Cellular Automata and Applications참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 중심 노드를 공유하는 두 개의 상호 연결된 순환 회로를 가진 이중 부울 자동기 회로(dbac)의 역학을 조사한다. 음-양 및 음-음 dbac 시스템에서 애트랙터와 주기적 구성의 정확한 수를 구하기 위해 모비우스 함수와 오일러의 타우 함수와 같은 수론 함수를 사용한다. 그 결과, 애트랙터 수는 개별 크기 $​\ell$ 및 $r$에 따라 달라지지 않고 총 크기 $N = \ell + r$와 $​\Delta = \gcd(\ell, r)$에만 의존한다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we give some results concerning the dynamics of double Boolean automata circuits (dbac's for short), namely, networks associated to interaction graphs composed of two side-circuits that share a node. More precisely, we give formulas for the number of attractors of any period, as well as the total number of attractors of these networks.

연구 동기 및 목표

• 이중 부울 자동기 회로(dbac)의 주기적 역학을 이해하기 위해, 특히 한 쪽 또는 양쪽 측면 회로가 음수일 경우를 다룬다.
• 혼합 또는 음수 측면 회로를 가진 dbac 시스템에서 애트랙터와 주기적 구성의 수를 특성화한다.
• 애트랙터 수가 개별 크기 $​\ell$ 또는 $r$가 아니라 총 크기 $N = \ell + r$와 $​\Delta = \gcd(\ell, r)$에만 의존한다는 것을 보여준다.
• 모비우스 함수와 오일러의 타우 함수와 같은 수론 함수를 사용하여 애트랙터 수의 조합 수식을 제공한다.

제안 방법

• dbac를 중심 노드를 공유하는 두 개의 측면 회로로 모델링하며, 국소 전이 함수는 항등 또는 부정 함수로 정의된다.
• 정확한 주기 $p$를 가진 구성의 수를 계산하기 위해 모비우스 역행 공식을 사용한다. 공식은 $\mathtt{C}_{p}^{\ast}(\ell,r) = \sum_{q|p} \mu(p/q) \cdot \mathtt{C}_{p}(\ell,r)$ 로 주어진다.
• p-애트랙터의 수를 유도한다: $\mathtt{A}_{p}(\ell,r) = \frac{1}{p} \sum_{q|p} \mu(p/q) \cdot \mathtt{C}_{p}(\ell,r)$, 여기서 $\mathtt{C}_{p}(\ell,r)$ 는 음-음 시스템의 경우 $P(p/\Delta_p)^{\Delta_p}$ 에 의존한다.
• 구성 수를 계산하기 위해 $P(k)$ 를 적용한다. $P(k)$ 는 연속된 두 개의 1이 없는 길이 $k$ 의 이진 문자열의 수로 정의된다.
• 최종 공식에서 총 애트랙터 수를 위한 오일러의 타우 함수 $\psi$ 를 사용한다: $\mathtt{T}^{=}_{N,\Delta} = \frac{1}{N} \sum_{p|N} \psi(N/p) \cdot P(p/\Delta_p)^{\Delta_p}$.
• 컴퓨터 시뮬레이션을 수행하여 다양한 $\ell, r$ 값과 $\gcd(\ell,r)$ 에서 애트랙터 수의 패턴을 검증하고 관찰한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중 부울 자동기 회로의 애트랙터 주기는 측면 회로의 크기와 부호에 따라 어떻게 달라지나?
• RQ2 한 쪽이 음수이고 한 쪽이 양수인 dbac에서 정확한 주기적 구성과 애트랙터의 수는 얼마인가?
• RQ3 이중 음수 dbac에서 애트랙터 수를 총 크기 $N = \ell + r$ 와 $​\Delta = \gcd(\ell, r)$ 에만 기반하여 표현할 수 있는가?
• RQ4 모비우스 함수는 이러한 시스템에서 주기적 구성과 애트랙터 수를 세는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 주어진 $N$ 에 대해 총 애트랙터 수가 최대가 되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 이중 음수 dbac $D_{\ell,r}$ 에서 주기 $p$ 의 구성 수는 $p$ 와 $\Delta_p = \gcd(\Delta, p)$ 에만 의존하며, $C_p(\ell,r) = P(p/\Delta_p)^{\Delta_p}$ 로 주어진다. 여기서 $P(k)$ 는 연속된 두 개의 1이 없는 길이 $k$ 의 이진 문자열의 수를 세는 함수이다.
• 이중 음수 dbac에서 $p$-애트랙터의 수는 $\mathtt{A}_p^{=} = \frac{1}{p} \sum_{q|p} \mu(p/q) \cdot P(q/\Delta_q)^{\Delta_q}$ 이다.
• 이중 음수 dbac에서 총 애트랙터 수는 $\mathtt{T}^{=}_{N,\Delta} = \frac{1}{N} \sum_{p|N} \psi(N/p) \cdot P(p/\Delta_p)^{\Delta_p}$ 이며, $K = N/\Delta$ 가 소수일 경우 간소화된다.
• 만약 $K = 2$ 이면 $\mathtt{T}^{=}_{N,N/2} = \frac{1}{N} \sum_{q|N/2, \gcd(q,2)=1} \psi(q) \cdot 2^{N/(2q)}$ 이고, $K = 3$ 이면 $\mathtt{T}^{=}_{N,N/3} = \frac{1}{N} \sum_{q|N/3, \gcd(q,3)=1} \psi(q) \cdot 3^{N/(3q)}$ 이며, $P(2)=2$ 이고 $P(3)=3$ 이다.
• 컴퓨터 시뮬레이션 결과, $\mathtt{T}^{=}\!(\ell,r)$ 는 $\ell = r$ 일 때 최대가 되며, $N$ 이 3으로 나누어 떨어지지 않을 경우 $\Delta = N/2$ 일 때, $N$ 이 3으로 나누어 떨어질 경우 $\Delta = N/3$ 일 때 최대가 된다. 다만 이는 아직 미해결 추측이다.
• 이중 음수 dbac에서 총 애트랙터 수는 $\ell$ 과 $r$ 의 개별 값에 영향을 받지 않고 $N = \ell + r$ 와 $\Delta = \gcd(\ell, r)$ 에만 의존한다. 이는 시뮬레이션과 이론적 공식에 의해 확인되었다.