[논문 리뷰] Dynamics in several complex variables: endomorphisms of projective spaces and polynomial-like mapping

Tien‐Cuong Dinh, Nessim Sibony|ArXiv.org|2008. 10. 05.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 12인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 복소다양체에서의 복소다이나믹스를 다루기 위해 다변수 복소해석적 방법을 개발하며, 사영공간의 자기형사상과 다항형 유사 사상에 초점을 맞춘다. 사전이미지의 등분포, 지수적 상관관계 감쇠 및 K-혼합성의 증명, 그리고 DSH 공간의 컴actness와 초위력 이론을 이용한 균형 측도의 최대 엔트로피 및 적절한 성질을 입증한다.

ABSTRACT

The emphasis of this course is on pluripotential methods in complex dynamics in higher dimension. They are based on the compactness properties of plurisubharmonic functions and on the theory of positive closed currents. Applications of these methods are not limited to the dynamical systems that we consider here. We choose to show their effectiveness and to describe the theory for two large families of maps. The first chapter deals with holomorphic endomorphisms of the projective space P^k. We establish the first properties and give several constructions for the Green currents and the equilibrium measure μ. The emphasis is on quantitative properties and speed of convergence. We then treat equidistribution problems and establish ergodic properties of μ: K-mixing, exponential decay of correlations for various classes of observables, central limit theorem and large deviations theorem. Finally, we study the entropy, the Lyapounov exponents and the dimension of μ. The second chapter develops the theory of polynomial-like maps in higher dimension. We introduce the dynamical degrees and construct the equilibrium measure μof maximal entropy. Then, under a natural assumption, we prove equidistribution properties of points and various statistical properties of the measure μ. The assumption is stable under small pertubations on the map. We also study the dimension of μ, the Lyapounov exponents and their variation. Our aim is to get a self-contained text that requires only a minimal background. In order to help the reader, an appendix gives the basics on p.s.h. functions, positive closed currents and super-potentials on projective spaces. Some exercises are proposed and an extensive bibliography is given.

연구 동기 및 목표

• 다변수 복소다이나믹스의 기초 틀을 복소해석적 이론을 통해 수립하기 위해.
• 복소다양체 $\mathbb{P}^k$ 상의 헬름홀로픽 자기형사상에 대한 균형 측도의 통계적 성질을 분석하기 위해.
• 등분포 결과를 점들에서 부분다양체와 주기점으로 확장하기 위해.
• 균형 측도의 에르고딕성 및 기하학적 불변량인 엔트로피, 리아풀로프 지수, 차원 등을 연구하기 위해.
• 다항형 유사 사상 이론을 고차원으로 확장하여, 균형 측도의 구성 및 등분포 정리의 수립을 위해.

제안 방법

• DSH 공간( quasi-plurisubharmonic 함수의 차분 공간)의 컴팩턴스 성질을 활용하여 수렴성과 정규성 제어하기.
• 정규화된 커런트 리프트의 근사와 극한을 통한 그린 커런트 $T^p$의 구성으로 수렴 속도 추정 보장하기.
• 양의 폐쇄 커런트의 와이드곱을 정의하고 분석하기 위해 $dd^c$-방정식과 초위력 이론의 적용.
• 홀더 연속성과 용적 추정을 활용하여 적절한 측도 및 지수 함수의 적분 가능성 입증하기.
• 하르톡스 수렴성과 커런트 위상에서의 약한 위상의 활용으로 변형에 대한 안정성 보장하기.
• 반복의 차수 증가의 점근적 성장을 통해 동적 차수와 엔트로피를 정의하고 최대 엔트로피 측도 도출하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 사전이미지 $f^{-n}(a)$ 가 균형 측도 $\mu$로 등분포하는가?
• RQ2 관측 함수의 정규성에 따라 $\mu$의 통계적 성질, 예를 들어 상관관계의 지수적 감쇠 및 중심극한정리 등은 어떻게 달라지는가?
• RQ3 다항형 유사 사상의 동적 차수와 균형 측도의 엔트로피 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 DSH 공간의 컴팩턴스는 혼합성과 적절한 측도 성질의 증명에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 초위력의 홀더 연속성 조건 하에, 양의 폐쇄 $(p,p)$-커런트 $S$에 대해 균형 측도 $\mu$의 하우스도르프 차원은 무엇인가?

주요 결과

• 복소다양체 $\mathbb{P}^k$ 상의 헬름홀로픽 자기형사상에 대해, $a$가 전체적으로 불변인 대수적 집합 $\mathscr{E}$ 외부에 있을 경우, $f^{-n}(a)$ 에 균형을 이룬 확률 측도는 균형 측도 $\mu = T^k$ 로 수렴한다.
• 균형 측도 $\mu$ 는 K-혼합이며, DSH 공간 소속의 관측 함수에 대해 지수적 상관관계 감쇠를 보인다.
• 측도 $\mu$ 는 적절하다: 모든 유계 함수 $\varphi$ 에 대해 DSH 공간 내에서 $\int e^{\alpha|\varphi|} d\mu \leq c$ 를 만족하며, $\alpha, c > 0$ 는 유계 집합에서 일관되게 유지된다.
• 다항형 유사 사상의 균형 측도는 최대 엔트로피를 가지며, 자연스러운 동적 차수 조건 하에서 등분포 성립한다.
• 양의 폐쇄 $(p,p)$-커런트 $S$ 에 대해, 초위력의 홀더 연속성 조건 하에, $\mu$ 의 하우스도르프 차원은 $2(k-p)$ 보다 엄밀히 크다.
• 균형 측도 $\mu$ 는 중심극한정리 및 대 deviations 정리에 따라 만족하며, 관측 함수의 DSH 노름에 의해 속도가 제어된다.